[论文解读] Quantum mechanics, Bayes' theorem and the conjunction fallacy

Riccardo Franco|ArXiv.org|Mar 23, 2007

Decision-Making and Behavioral Economics参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出，认知科学中的合取谬误——即人们判断合取事件的概率高于其组成部分之一的概率——源于有限理性决策中的量子干涉效应。通过使用非对易可观测量和叠加态的量子形式体系，作者表明，由于干涉项的存在，贝叶斯规则的违反自然产生，从而将该谬误解释为认知过程中类量子推理的结果。

ABSTRACT

In the present article we consider the conjunction fallacy, a well known cognitive heuristic experimentally tested in cognitive science, which occurs for intuitive judgments in situations of bounded rationality. We show that the quantum formalism can be used to describe in a very simple way this fallacy in terms of interference effect. We evidence that the quantum formalism leads quite naturally to violations of Bayes' rule when considering the probability of the conjunction of two events. Thus we suggest that in cognitive science the formalism of quantum mechanics can be used to describe a extit{quantum regime}, the bounded-rationality regime, where the cognitive heuristics are valid.

研究动机与目标

• 研究量子形式体系与经典概率论，特别是贝叶斯规则，在认知决策中的相容性。
• 解决认知启发法中著名的合取谬误问题，即个体判断事件合取的概率高于其任一组成部分的概率。
• 使用量子力学，特别是量子比特态和密度矩阵，对有限理性状态——以认知局限为特征——进行建模。
• 证明量子概率中的干涉效应自然导致对经典概率规则（如贝叶斯规则）的违反。
• 提出诸如合取谬误等认知启发法可能源于人类判断中潜在的量子机制。

提出的方法

• 在二维希尔伯特空间中，使用量子比特态向量表示有限理性状态中代理人的意见状态。
• 将问题建模为具有非对易可观测量的厄米算符，导致测量结果不相容。
• 使用密度矩阵形式体系描述混合态及在不确定性存在下的统计预测。
• 应用玻恩规则计算测量结果的概率，纳入叠加态带来的干涉项。
• 通过量子概率振幅推导条件概率，表明一般情况下 $ P(a_j|b_i) \neq P(b_i|a_j) $，违反经典贝叶斯规则。
• 通过叠加态中的相位差分析干涉效应，该效应在不改变边缘分布的情况下改变联合概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子形式体系能否解释在有限理性下认知决策中对贝叶斯规则的违反？
• RQ2 量子力学中的非对易可观测量如何导致合取谬误？
• RQ3 干涉在扭曲认知启发法中的直觉概率判断中起什么作用？
• RQ4 合取谬误能否被预测并解释为意见态坍缩中量子干涉的后果？
• RQ5 量子力学中的不确定性原理在多大程度上限制了有限理性代理对认知属性的同步认知？

主要发现

• 当涉及两个非对易可观测量时，合取谬误自然源于量子概率中的干涉效应。
• 贝叶斯规则的违反源于概率振幅中的干涉项，而这些项在经典概率理论中并不存在。
• 合取事件的概率 $ P(A \land B) $ 可能低于 $ P(A) $ 或 $ P(B) $，导致模型预测的“反向合取谬误”。
• 相同的叠加态对可观测量 $ A $ 产生相同的边缘概率，但根据相位不同，联合概率不同，体现了上下文依赖性。
• 非对易算符导致不相容测量，阻止同时获知两个属性，与量子上下文性一致。
• 离散希尔伯特空间中的不确定性原理意味着非对易可观测量方差之和存在非零下界，限制了对认知属性估计的精度。