[论文解读] Quantum Merlin-Arthur with noisy channel

Tomoyuki Morimae, Keisuke Fujii+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了在梅尔林与亚瑟之间存在噪声量子信道的量子梅尔林-亚瑟（QMA）协议，表明即使在存在此类噪声的情况下，当亚力山大仅限于单量子比特测量时，其计算能力仍与标准QMA等价。作者提出了一种放松的稳定子检验方法，可接受可通过量子纠错纠正的噪声图态，从而实现在噪声资源上的容错测量模型量子计算，证明了在验证者能力有限的现实噪声条件下，QMA具有鲁棒性。

ABSTRACT

What happens if in QMA the quantum channel between Merlin and Arthur is noisy? It is not difficult to show that such a modification does not change the computational power as long as the noise is not too strong so that errors are correctable with high probability, since if Merlin encodes the witness state in a quantum error-correction code and sends it to Arthur, Arthur can correct the error caused by the noisy channel. If we further assume that Arthur can do only single-qubit measurements, however, the problem becomes nontrivial, since in this case Arthur cannot do the universal quantum computation by himself. In this paper, we show that such a restricted complexity class is still equivalent to QMA. To show it, we use measurement-based quantum computing: honest Merlin sends the graph state to Arthur, and Arthur does fault-tolerant measurement-based quantum computing on the noisy graph state with only single-qubit measurements. By measuring stabilizer operators, Arthur also checks the correctness of the graph state. Although this idea itself was already used in several previous papers, these results cannot be directly used to the present case, since the test that checks the graph state used in these papers is so strict that even honest Merlin is rejected with high probability if the channel is noisy. We therefore introduce a more relaxed test that can accept not only the ideal graph state but also noisy graph states that are error-correctable.

研究动机与目标

• 研究当梅尔林与亚力山大之间的量子信道存在噪声时，QMA的计算能力，特别是在亚力山大仅能执行单量子比特测量的约束下。
• 解决标准稳定子检验在噪声下失效的问题，即使噪声是可纠错的，也会拒绝诚实梅尔林提供的有效但含噪声的态。
• 开发一种鲁棒的验证协议，不仅接受理想图态，也接受可通过量子误差纠正技术纠错的噪声图态。
• 证明仅使用单量子比特测量即可在噪声图态上实现容错测量模型量子计算，同时保持QMA的完备性。

提出的方法

• 引入两个复杂度类：${\rm QMA}_{\mathcal{E}}$ 表示一般噪声信道，${\rm QMA}_{{\mathcal{E}},{\rm single}}$ 表示存在单量子比特测量限制的信道。
• 提出一种放松的稳定子检验，只要噪声图态在量子误差纠正下可纠错，即可接受，与先前工作中严格的检验形成对比。
• 采用测量模型量子计算（MBQC），其中梅尔林发送一个图态，亚力山大通过在噪声态上进行自适应单量子比特测量来执行通用量子计算。
• 应用容错方案（如Steane 7量子比特码、表面码）对噪声图态中的错误进行纠正，确保计算输出正确。
• 将可纠错的错误定义为：在容错测量模型的POVM下，仍能保持计算输出不变的错误。
• 使用迹条件 $\mathrm{Tr}\left(\sum_{u\in\Gamma}|G_u\rangle\langle G_u|{\mathcal{E}}_n(|G\rangle\langle G|)\right) \geq 1-\delta$ 来量化可纠错性，其中 $\delta$ 为可忽略值或小常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当亚力山大被限制为单量子比特测量时，具有噪声信道的QMA是否仍能保持其全部计算能力？
• RQ2 为何标准稳定子检验在存在信道噪声时会失效，即使噪声是可纠错的？
• RQ3 是否存在一种放松的验证测试，可接受可纠错的噪声图态，同时保持QMA协议的可靠性与完备性？
• RQ4 是否仅使用单量子比特测量即可在噪声图态上实现容错测量模型量子计算？
• RQ5 噪声信道需满足何种条件，才能确保量子计算的输出保持可纠错且与理想情况不可区分？

主要发现

• 当噪声不强时，${\rm QMA}_{{\mathcal{E}},{\rm single}}$ 类与标准QMA等价，即错误可高概率被纠正。
• 提出一种放松的稳定子检验，可同时接受理想态与可纠错的噪声图态，避免了先前严格检验在噪声下产生的高拒绝率。
• 迹条件 $\mathrm{Tr}\left(\sum_{u\in\Gamma}|G_u\rangle\langle G_u|{\mathcal{E}}_n(|G\rangle\langle G|)\right) \geq 1-\delta$ 确保了可纠错性，其中 $\delta = 2^{-\mathrm{poly}(n)}$ 对于自然的局部噪声模型成立。
• 在仅使用单量子比特测量的前提下，只要噪声在纠错阈值范围内，即可在噪声图态上实现容错测量模型量子计算。
• 关键洞见在于，即使信道破坏了图态，只要错误可纠错，亚力山大仍可执行通用量子计算，并通过放松的检验验证结果的正确性。
• 本研究通过展示对现实噪声的鲁棒性，扩展了先前关于单量子比特验证者的工作，使QMA模型更具物理可行性。