[论文解读] Quantum Online Streaming Algorithms with Constant Number of Advice Bits.

Kamil Khadiev, Mansur Ziatdinov+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于 Black Hats 方法构建的量子在线流算法，用于解决 $P_k$ 问题，该算法仅需一个建议位和一个量子比特的内存即可实现最优性能。结果表明，即使经典算法拥有无限计算能力，当其被限制在亚对数内存和建议位时，具有常数量子比特的量子算法仍能实现超越经典算法的表现。

ABSTRACT

Online algorithms are known model that is investigated with respect to a competitive ratio typically. In this paper, we investigate streaming algorithms as a model for online algorithms. We focus on quantum and classical online algorithms with advice. Special problem $P_k$ was considered. This problem is obtained using Black Hats Method. There is an optimal quantum online algorithm with single advice bit and single qubit of memory for the problem. At the same time, there is no optimal deterministic or randomized online algorithm with sublogarithmic memory for the same problem even the algorithm gets $o(\log n)$ advice bits. Additionally, we show that quantum online algorithm with a constant number of qubits can be better than deterministic online algorithm even if deterministic one has a constant number of advice bits and unlimited computational power.

研究动机与目标

• 研究在具有建议的流模型中，量子在线算法的计算能力。
• 分析在线算法中内存大小、建议位数与竞争力之间的权衡关系。
• 在经典算法受限于亚对数内存和建议位时，证明量子计算在在线计算中的可证明优势。
• 使用 Black Hats 方法构造一个问题 $P_k$，以凸显量子计算的优越性。
• 将具有常数量子比特内存的量子算法与具有有限建议位的确定性和随机化经典算法进行比较。

提出的方法

• 使用 Black Hats 方法生成问题 $P_k$，该方法是一种用于构造具有挑战性的在线问题的技术。
• 设计了一种仅使用一个量子比特内存和一个建议位的量子在线算法，实现了最优竞争力。
• 该算法利用量子叠加和幺正演化高效处理流式输入。
• 在亚对数内存和 $o(\log n)$ 建议位的约束下，分析经典算法的表现。
• 通过将算法成本与最优离线成本进行比较，评估其竞争力。
• 理论分析证明，任何使用亚对数内存和 $o(\log n)$ 建议位的确定性或随机化经典算法都无法在 $P_k$ 问题上实现最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有常数内存和建议位的量子在线算法是否能超越拥有无限计算能力的经典算法？
• RQ2 在流模型中实现最优在线计算的最小建议位和内存需求是什么？
• RQ3 当经典算法和量子算法均受限于有限内存和建议位时，量子计算是否能提供可证明的优势？
• RQ4 Black Hats 方法如何生成能够暴露经典在线算法局限性的问题？
• RQ5 一个仅使用单个量子比特和单个建议位的量子算法，能否在非平凡的在线问题上实现最优？

主要发现

• 存在一个仅使用一个建议位和一个量子比特内存的最优量子在线算法，用于问题 $P_k$。
• 若使用亚对数内存和 $o(\log n)$ 建议位，则任何确定性或随机化经典在线算法都无法在 $P_k$ 问题上实现最优。
• 即使经典算法拥有无限计算能力，具有常数数量量子比特的量子在线算法仍能超越经典算法。
• 通过 Black Hats 方法构造的问题 $P_k$，专门设计用于暴露经典在线算法在内存和建议位约束下的局限性。
• 该结果在具有建议的在线流模型中建立了可证明的量子优势，即使在严格的资源限制下亦成立。
• 本研究表明，量子资源（量子比特和建议位）可弥补经典算法在内存和建议位上的局限，从而实现最优性能。