[论文解读] Quantum restoration of broken symmetries

V. V. Belokurov, E. T. Shavgulidze|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明，非线性、非局部的变换可将具有自发对称性破缺的自相互作用量子场论映射为自由场论，同时保持路径积分等价性。尽管经典理论中对称性被破缺，但量子理论的经典极限通过在奇异函数空间上的积分，恢复了原始对称性，揭示了路径积分结构与伊藤微积分修正导致的量子对称性恢复机制。

ABSTRACT

A certain non-linear non-local substitution is shown to transform the action of the self-interacting quantum field to the free one. The functional integrals in both theories are equal to each other. However, the integrations are performed over different functional spaces. The classical action and the classical limit of the corresponding quantum theory turn out to be different. And the symmetry originally broken in the classical theory is restored in the classical limit of the quantum theory.

研究动机与目标

• 证明非线性、非局部的场重新定义可将相互作用量子场论转化为自由场论，同时保持功能积分等价性。
• 证明具有对称性破缺作用量的量子理论的经典极限可恢复经典作用量中被破缺的原始对称性。
• 阐明奇异函数空间（X）在定义相互作用场的有效量子测度中的作用。
• 建立伊藤随机积分与量子场论中对称性恢复之间的联系。
• 通过展示量子动力学可恢复经典解中不存在的对称性，挑战对称性破缺的传统理解。

提出的方法

• 引入非局部场重新定义：$\chi(t) = \varphi(t) + a\int_{-T}^{t}(\varphi^2(\tau) - \beta^2)d\tau$，将相互作用理论映射为自由理论。
• 利用伊藤微积分将作用量中的边界项与线性项重写为$\int \varphi^2 d\varphi = \frac{1}{3}(\varphi^3(T) - \varphi^3(-T)) - \int \varphi dt$，实现精确的功能积分等价性。
• 证明在包含$(t - t_i^*)^{-1}$型奇点的奇异空间$X^+$上的功能积分，其结果与在连续函数空间$C[-T,T]$上的自由理论功能积分完全相同。
• 证明量子理论的经典极限$\hbar \to 0$导致$\ddot{\chi} = 0$，意味着$\dot{\chi} = \text{const} = 0$，这在相互作用图像中转化为$\dot{\varphi} + a(\varphi^2 - \beta^2) = 0$。
• 识别经典极限解$\tilde{\varphi}^+(t)$为对称Euler-Lagrange方程（7）的解，而非对称性破缺方程（9）的解，原因在于奇异积分域的存在。
• 构建镜像情形$A_-$，在积分项中符号相反，导致$X^-$与对称性恢复通过$\tilde{\varphi}^-(t)$实现，确认量子理论中对称性完全恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 非局部场重新定义能否在保持功能积分等价性的前提下，将自相互作用量子场论转化为自由场论？
• RQ2 为何具有对称性破缺作用量的量子理论的经典极限会恢复原始对称性？
• RQ3 伊藤随机积分如何在量子场论中促进对称性恢复？
• RQ4 相互作用理论中量子测度所定义的功能空间具有何种结构？
• RQ5 量子力学是否本质上会恢复经典作用量中破缺的对称性？若是，其机制为何？

主要发现

• 通过非局部变换，相互作用$\phi^4$理论在奇异空间$X^+$上的功能积分，精确等于在$C[-T,T]$上自由场的功能积分。
• 量子理论的经典极限导致$\dot{\chi}(t) = 0$，意味着$\chi(t)$为常数，这在相互作用图像中对应于$\dot{\varphi}(t) + a(\varphi^2(t) - \beta^2) = 0$。
• 解$\tilde{\varphi}^+(t) = \beta \tanh(bt + c)$或$\beta \coth(bt + c)$满足对称Euler-Lagrange方程（7），而非对称性破缺方程（9），证明了对称性恢复。
• 测度$Z^{-1} \exp\left\{-\frac{1}{2}\int (\dot{\varphi})^2 dt - \frac{1}{2}\int \varphi^4 dt - \frac{1}{3}(\varphi^3(T) - \varphi^3(-T)) + \int \varphi dt \right\} d\varphi$在$X^+$上有定义，而标准高斯测度在$C$上无定义。
• 空间$X^+$包含具有孤立$(t - t_i^*)^{-1}$奇点的函数，且由于微扰展开中的发散，测度在连续函数$C$上无定义。
• 具有线性项符号相反的镜像理论$A_-$导致$X^-$与对称性恢复，通过$\tilde{\varphi}^-(t)$实现，证实量子路径积分中对称解的两个分支均被恢复。