[论文解读] Quantum Search Algorithm for Binary Constant Weight Codes

Kein Yukiyoshi, Naoki Ishikawa|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新型量子搜索算法，用于二元恒重码，采用无约束二次二值优化（QUBO）与格罗弗自适应搜索（GAS），在经典查询复杂度上实现63%的降低，在量子查询复杂度上实现31%的降低。该方法通过利用代数结构减少量子电路对量子比特的需求，并建立了解的数量与目标函数最小值的紧致边界。

ABSTRACT

A binary constant weight code is a type of error-correcting code with a wide range of applications. The problem of finding a binary constant weight code has long been studied as a combinatorial optimization problem in coding theory. In this paper, we propose a quantum search algorithm for binary constant weight codes. Specifically, the search problem is newly formulated as a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) and Grover adaptive search (GAS) is used for providing the quadratic speedup. Focusing on the inherent structure of the problem, we derive an upper bound on the minimum of the objective function value and a lower bound on the exact number of solutions. In our algebraic analysis, it was found that this proposed algorithm is capable of reducing the number of required qubits, thus enhancing the feasibility. Additionally, our simulations demonstrated that it reduces the query complexities by 63% in the classical domain and 31% in the quantum domain. The proposed approach may be useful for other quantum search algorithms and optimization problems.

研究动机与目标

• 为解决寻找最优二元恒重码时出现的组合爆炸问题，这是编码理论中的一个重大挑战。
• 将恒重码问题形式化为QUBO问题，以支持量子优化。
• 通过结构分析，减少量子电路实现中所需的量子比特数量。
• 推导目标函数的紧致上下界以及解的精确数量，以提升算法效率。
• 利用格罗弗自适应搜索（GAS）实现最优码搜索的二次加速。

提出的方法

• 利用内积表示汉明距离，将恒重码问题重新表述为QUBO问题，替代基于XOR的表示方法。
• 构建一种新型目标函数，通过内积约束强制保证码字之间的最小距离 $ d $。
• 将格罗弗自适应搜索（GAS）应用于QUBO形式化，以实现最优码搜索的二次加速。
• 利用代数分析，推导出最小目标函数值的上界以及精确解数量的下界。
• 通过利用结构约束（如列权重与码字分布）来最小化所需量子比特数量。
• 仿真结果验证了在所提形式化下，经典与量子查询复杂度的性能提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 二元恒重码构造问题能否被有效重述为QUBO问题，以支持量子优化？
• RQ2 如何利用恒重码的内在代数结构来减少量子比特数量并提升实现可行性？
• RQ3 对于给定码，其最小目标函数值与有效解的确切数量的紧致边界是什么？
• RQ4 与经典方法及标准量子方法相比，所提出的基于GAS的算法在多大程度上降低了查询复杂度？
• RQ5 所提方法能否推广至编码理论中的其他组合优化问题？

主要发现

• 所提出的QUBO形式化通过利用恒重码的结构约束，减少了所需量子比特数量。
• 与基线方法相比，该算法在经典查询复杂度上降低63%，在量子查询复杂度上降低31%。
• 推导出最小目标函数值的上界，从而实现更紧致的优化边界。
• 当 $ w - d/2 \geq 2 $ 时，精确解数量的下界为 $ \boxed{\underline{t} = \min_{2 \leq i \leq w - d/2} \binom{w}{i}} $；当 $ w - d/2 = 1 $ 时，下界为 $ w! $。
• 理论分析证实，所提出的GAS变体通过利用问题特异性结构，实现了二次加速。
• 仿真结果在多个参数集上均表现出一致的性能提升，验证了理论边界的准确性与效率改进的有效性。