[论文解读] Quantum Spectral Clustering through a Biased Phase Estimation Algorithm

Ammar Daskin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于偏差相位估计算法的量子谱聚类算法，通过加速振幅放大实现加速。通过将数据矩阵表示为Householder矩阵的和，并对修改后的酉算符应用相位估计，该方法实现了 O(2^m L N) 的量子复杂度，在矩阵稀疏或可分解为简单酉算符时，相较于经典谱聚类具有潜在的指数级加速优势。

ABSTRACT

In this brief paper, we go through the theoretical steps of the spectral clustering on quantum computers by employing the phase estimation and the amplitude amplification algorithms. We discuss circuit designs for each step and show how to obtain the clustering solution from the output state. In addition, we introduce a biased version of the phase estimation algorithm which significantly speeds up the amplitude amplification process. The complexity of the whole process is analyzed: it is shown that when the circuit representation of a data matrix of order $N$ is produced through an ancilla based circuit in which the matrix is written as a sum of $L$ number of Householder matrices; the computational complexity is bounded by $O(2^mLN)$ number of quantum gates. Here, $m$ represents the number of qubits (e.g., 6) involved in the phase register of the phase estimation algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种基于相位估计和振幅放大的量子谱聚类算法。
• 通过偏差相位估计算法减少振幅放大中的迭代次数。
• 分析谱聚类的量子电路复杂度，并与经典方法进行比较。
• 展示如何在量子计算机上高效提取数据矩阵或拉普拉斯矩阵的特征向量以实现聚类。

提出的方法

• 在由数据向量导出的Householder矩阵构造的酉算符 e^H 上应用相位估计。
• 将矩阵 H = XX^T 表示为 L 个Householder矩阵的和，每个均可通过 O(N) 个量子门实现。
• 应用一种偏差相位估计算法，用定制算符替代量子傅里叶变换，以减少振幅放大中的迭代次数。
• 使用振幅放大来放大对应于最大特征值的期望特征向量态的振幅。
• 使用 m 量子比特的控制寄存器来估计精度与 2^{-m} 相关的特征值。
• 通过基于泡利算符或 Y 算符的初始态测量输出态，以提取聚类标签。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在量子计算机上通过相位估计和振幅放大高效实现谱聚类？
• RQ2 与标准QPE相比，使用偏差相位估计算符如何减少振幅放大中的迭代次数？
• RQ3 当数据矩阵被分解为Householder矩阵时，谱聚类的量子电路复杂度是多少？
• RQ4 在何种条件下，该量子方法在计算复杂度上优于经典谱聚类？
• RQ5 如何从相位估计过程的量子态输出中提取聚类解？

主要发现

• 该量子算法在谱聚类中的计算复杂度为 O(2^m L N)，其中 m 为相位寄存器中的量子比特数，L 为Householder矩阵的数量。
• 偏差相位估计算法显著减少了振幅放大中所需的迭代次数，提升了效率。
• 当矩阵 H 可被分解为每个仅需 O(log N) 个量子门的简单酉算符时，复杂度可降低至 O(2^m L log N)。
• 当矩阵稀疏或可低秩分解为简单酉算符时，该方法相较于经典谱聚类具有指数级加速优势。
• 通过使用初始叠加态和 Y 算符（X 门之和）对输出态进行测量，可仅通过一次尝试即提取聚类解。
• 即使在需要多次尝试以找到最优聚类时，该方法仍保持有利的复杂度量级，因为尝试次数 c 与经典方法共享。