[论文解读] Quantum Speed-ups for Semidefinite Programming

Fernando G. S. L. Brandão, Krysta M. Svore|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用 19

一句话总结

本文提出了一种量子算法，实现了对半定规划（SDPs）求解的二次加速，将最坏情况下的运行时间减少至 $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $，其中 $ n $、$ m $ 和 $ s $ 分别为矩阵维度、约束数量和行稀疏度。该算法结合了量子吉布斯采样与改进的乘性权重方法，首次实现了对 SDPs 和线性规划的量子加速，且其量子下界 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $ 表明该加速几乎是最优的。

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving semidefinite programs (SDPs). It has worst-case running time $n^{\frac{1}{2}} m^{\frac{1}{2}} s^2 ext{poly}(\log(n), \log(m), R, r, 1/δ)$, with $n$ and $s$ the dimension and row-sparsity of the input matrices, respectively, $m$ the number of constraints, $δ$ the accuracy of the solution, and $R, r$ a upper bounds on the size of the optimal primal and dual solutions. This gives a square-root unconditional speed-up over any classical method for solving SDPs both in $n$ and $m$. We prove the algorithm cannot be substantially improved (in terms of $n$ and $m$) giving a $Ω(n^{\frac{1}{2}}+m^{\frac{1}{2}})$ quantum lower bound for solving semidefinite programs with constant $s, R, r$ and $δ$. The quantum algorithm is constructed by a combination of quantum Gibbs sampling and the multiplicative weight method. In particular it is based on a classical algorithm of Arora and Kale for approximately solving SDPs. We present a modification of their algorithm to eliminate the need for solving an inner linear program which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 开发一种量子算法，显著加速求解半定规划（SDPs），这是一类具有广泛应用的凸优化核心问题。
• 在矩阵维度 $ n $ 和约束数量 $ m $ 的维度上，实现比任何经典方法都更优的可证明运行时间。
• 为线性规划（SDPs 的特例）建立首个量子加速。
• 通过证明在标准参数下 SDP 求解的量子下界为 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $，证明所提出的加速几乎是最优的。

提出的方法

• 该算法基于经典乘性权重方法在 SDPs 上的量子化版本，该方法最初由 Arora 和 Kale 提出。
• 在乘性权重框架中，用量子吉布斯采样过程替代经典内部线性规划，以高效估计期望值。
• 对由输入矩阵构造的哈密顿量的热态进行量子吉布斯采样，从而实现对解空间分布的高效采样。
• 该方法利用稀疏哈密顿量的高效量子模拟，对于 $ s $-稀疏哈密顿量，时间 $ t $ 和误差 $ \varepsilon $，其电路大小为 $ O(st \operatorname{poly}(n, \log(1/\varepsilon))) $。
• 算法使用一种改进的预言机模型，通过查询接口访问非零矩阵元素，从而实现高效的量子态制备与振幅估计算法。
• 采用一种约化技术，处理约束边界 $ b_i < 1 $ 的情况，将其转化为等价的 SDP 形式，使得 $ b_i \geq 1 $，从而确保与算法假设的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典方法相比，量子算法能否在求解半定规划方面实现可证明的加速？
• RQ2 在 $ n $ 和 $ m $ 上实现的二次加速是否可实现且最优，还是存在根本性限制？
• RQ3 经典乘性权重方法能否在不依赖经典内部线性规划的情况下，被适配到量子设置中？
• RQ4 对于具有常数稀疏度和解大小的一般 SDP，其量子复杂度下界是什么？
• RQ5 该量子方法是否也能为线性规划（SDPs 的特例）带来加速？

主要发现

• 所提出的量子算法在最坏情况下的运行时间为 $ n^{1/2}m^{1/2}s^2 \operatorname{poly}(\log n, \log m, R, r, 1/\delta) $，在 $ n $ 和 $ m $ 上相比经典方法实现了二次加速。
• 该算法为线性规划建立了首个量子加速，因为线性规划是 SDPs 的特例。
• 在 $ s $、$ R $、$ r $ 和 $ \delta $ 为常数的条件下，证明了 SDP 求解的量子下界为 $ \Omega(n^{1/2} + m^{1/2}) $，表明该加速几乎是最优的。
• 该方法用量子吉布斯采样替代了乘性权重框架中经典线性规划子程序，实现了无需完整矩阵求逆的期望值高效估计。
• 该算法的效率依赖于稀疏哈密顿量的高效量子模拟，以及通过具有多项式对数查询复杂度的结构化预言机模型对矩阵元素的访问。
• 开发了一种约化技术，将 $ b_i $ 较小的 SDP 转化为等价形式，使得 $ b_i \geq 1 $，在保持解质量的同时，确保算法的一致应用。