[论文解读] Quantum stochastic convolution cocycles III

J. Martin Lindsay, Adam Skalski|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

该论文证明了在乘法器 $C^*$-双代数上的每个马尔可夫正则量子莱维过程均等价于由量子随机微分方程控制的福克空间量子随机过程。通过表示理论条件，该研究全面刻画了范数连续卷积半群的生成泛函，利用严格拓扑与算子空间技术，将量子莱维过程理论推广至局部紧量子群。

ABSTRACT

Every Markov-regular quantum Levy process on a multiplier C*-bialgebra is shown to be equivalent to one governed by a quantum stochastic differential equation, and the generating functionals of norm-continuous convolution semigroups on a multiplier C*-bialgebra are then completely characterised. These results are achieved by extending the theory of quantum Levy processes on a compact quantum group, and more generally quantum stochastic convolution cocycles on a C*-bialgebra, to locally compact quantum groups and multiplier C*-bialgebras. Strict extension results obtained by Kustermans, together with automatic strictness properties developed here, are exploited to obtain existence and uniqueness for coalgebraic quantum stochastic differential equations in this setting. Then, working in the universal enveloping von Neumann bialgebra, we characterise the stochastic generators of Markov-regular, *-homomorphic (respectively completely positive and contractive), quantum stochastic convolution cocycles.

研究动机与目标

• 将量子莱维过程理论从紧量子群推广至局部紧量子群与乘法器 $C^*$-双代数。
• 在局部紧情形下，建立余代数量子随机微分方程解的存在性与唯一性。
• 刻画乘法器 $C^*$-双代数上状态的范数连续卷积半群的生成泛函。
• 证明每个马尔可夫正则量子莱维过程均等价于一个福克空间量子随机过程。
• 利用严格拓扑与冯诺依曼代数方法，将量子随机卷积协循环理论推广至非单位元、局部紧情形。

提出的方法

• 作者利用严格拓扑与完全有界映射的自动严格性性质，将量子随机卷积协循环理论扩展至乘法器 $C^*$-双代数。
• 他们采用普遍包络冯诺依曼双代数，分析 *-同态与完全正、有界的协循环的随机生成元。
• 关键工具包括矩阵空间上的范数-超弱混合拓扑，以及严格拓扑与超弱拓扑之间的相容性。
• 通过从对称半双线性型构造希尔伯特空间与完全有界导子，实现了通过表示对生成泛函的实现。
• 该理论借助库斯特定理的严格扩张结果，并发展了完全有界映射的新自动严格性性质。
• 通过非负半双线性型的零空间商化，实现所需的 $\epsilon$-结构映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在乘法器 $C^*$-双代数上的马尔可夫正则量子莱维过程是否都能作为福克空间上量子随机微分方程的解来实现？
• RQ2 范数连续卷积半群在乘法器 $C^*$-双代数上的生成泛函由什么特征刻画？
• RQ3 在局部紧、非单位元情形下，如何唯一刻画量子随机卷积协循环？
• RQ4 马尔可夫正则、*-同态量子随机协循环的随机生成元与其基础表示之间存在何种关系？
• RQ5 在非单位元 $C^*$-双代数上的量子随机过程中，严格拓扑与矩阵空间技术如何相互作用？

主要发现

• 每个在乘法器 $C^*$-双代数上的马尔可夫正则弱量子莱维过程均等价于一个福克空间量子莱维过程。
• 范数连续卷积半群的生成泛函完全由以下条件刻画：$\gamma$ 为实值、条件正定，且满足 $\widetilde{\gamma}(1) = 0$。
• 当且仅当 $\gamma = \omega_\eta \circ (\pi - \iota_\mathsf{h} \circ \epsilon)$ 时，生成泛函 $\gamma$ 由希尔伯特空间 $\mathsf{h}$ 上的非退化表示 $\pi$ 与向量 $\eta \in \mathsf{h}$ 生成。
• 马尔可夫正则、*-同态量子随机卷积协循环的随机生成元完全由映射 $\varphi: \widehat{\mathsf{k}} \to B(\widehat{\mathsf{k}})$ 确定，且满足 $\widetilde{\varphi}(1) = 0$。
• 该理论自然推广至非单位元情形，其中单位性被非退化性取代，同时保持了乘积系统与弱量子莱维过程之间的对偶性。
• 通过从半双线性型 $q(a,b) = \widetilde{\gamma}_0(\psi(a)^*\psi(b))$ 构造希尔伯特空间 $\mathsf{k}$ 与完全有界导子 $\delta$，可实现通过表示对生成泛函的构造。