[论文解读] Quantum Theory over a Galois Field and Applications to Gravity and Particle Theory

Felix M. Lev|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 89被引用 4

一句话总结

本文提出使用大特征值 $p$ 的伽罗华域对量子理论进行重构，认为引力和宇宙学加速是德西特对称性的运动学结果，无需引入暗能量或时空背景。该方法将引力视为自然有限性的结果，导致电荷及重子/轻子数的近似守恒，并表明只有狄拉克单态（Dirac singletons）可被视为真正基本的粒子。

ABSTRACT

We argue that the main reason of crisis in quantum physics is that nature, which is fundamentally discrete, is described by continuous mathematics. Moreover, no ultimate physical theory can be based on continuous mathematics because, as follows from G\{o}del's incompleteness theorems, that mathematics is not self-consistent. In the first part of the work we discuss inconsistencies in standard approach to quantum theory and reformulate the theory such that it can be naturally generalized to a formulation based on discrete mathematics. It is shown that the cosmological acceleration and gravity can be treated simply as {\it kinematical} manifestations of de Sitter symmetry on quantum level ({\it i.e. for describing those phenomena the notions of dark energy, space-time background and gravitational interaction are not needed}). In the second part of the work we argue that fundamental quantum theory should be based on a Galois field with a large characteristic $p$. In this approach the de Sitter gravitational constant depends on $p$ and disappears in the formal limit $p o\infty$, i.e. gravity is a consequence of finiteness of nature. The application of the approach to particle theory gives the following results: a) no neutral elementary particles can exist; b) the electric charge and the baryon and lepton quantum numbers can be only approximately conserved (i.e. the notion of a particle and its antiparticle is only approximate). We also consider a possibility that only Dirac singletons can be true elementary particles.

研究动机与目标

• 解决因依赖连续数学而引发的量子物理基础危机，后者因哥德尔定理而本质上不一致。
• 在基于有限域（特别是大特征值 $p$ 的伽罗华域）的离散数学框架中重构量子理论。
• 证明宇宙学加速与引力是德西特对称性的运动学表现，从而无需引入暗能量或引力相互作用。
• 推导对粒子守恒定律的新约束，表明电荷与重子/轻子数仅近似守恒。
• 探讨在此离散量子框架中，仅狄拉克单态可为真正基本粒子的可能性。

提出的方法

• 在大 $p$ 的伽罗华域 $\mathbb{F}_p$ 上构建量子理论，用 $\mathbb{F}_p$ 上的有限维向量空间替代连续的希尔伯特空间。
• 以德西特对称性作为量子层次的基本时空对称性，推导出无需引入引力场的运动学效应（如加速度与引力）。
• 将引力常数定义为 $p$ 的函数，证明其在 $p \to \infty$ 极限下趋于零，表明引力源于自然的有限性。
• 将离散框架应用于粒子理论，分析有限域背景下量子数与守恒定律。
• 分析有限域中德西特群的表示理论，以识别可能的基本粒子，重点聚焦于狄拉克单态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有限伽罗华域上而非连续数学中一致地构建量子理论？
• RQ2 仅靠德西特对称性是否足以生成宇宙学加速与引力作为运动学效应，而无需引入暗能量或时空几何？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_p$ 上的离散量子理论中，电荷、重子数与轻子数的守恒定律如何产生？
• RQ4 域的特征值 $p$ 在决定引力强度与基本粒子存在性方面起什么作用？
• RQ5 狄拉克单态是否是此离散量子框架中唯一可行的真正基本粒子候选？

主要发现

• 引力与宇宙学加速被证明是离散量子框架中德西特对称性的运动学后果，无需时空背景或引力相互作用。
• 引力常数依赖于伽罗华域的特征值 $p$，且在 $p \to \infty$ 极限下趋于零，表明引力源于自然的有限性。
• 基本粒子不能严格中性，因为该理论的离散结构禁止中性态的精确电荷守恒。
• 电荷、重子数与轻子数仅近似守恒，意味着在此框架中粒子与反粒子的概念也是近似的。
• 只有狄拉克单态可被视为真正基本的粒子，因为它们是唯一能一致满足离散对称性与守恒约束的表示。