[论文解读] Quantum theory without Hilbert spaces

Charis Anastopoulos|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文提出了一种量子理论的重构形式，用基于经典相空间的实用框架取代希尔伯特空间形式体系，其中可观测量被表示为该空间上的函数，相干性泛函则编码概率和相对相位。关键结果是：在不使用非对易可观测量或希尔伯特空间的情况下，能够重现标准量子理论的预测，提供了一种实证的、几何化的替代方案，通过将相位视为基本量并采用非加性概率，避免了贝尔定理与 Kochen-Specker 定理的限制。

ABSTRACT

Quantum theory does not only predict probabilities, but also relative phases for any experiment, that involves measurements of an ensemble of systems at different moments of time. We argue, that any operational formulation of quantum theory needs an algebra of observables and an object that incorporates the information about relative phases and probabilities. The latter is the (de)coherence functional, introduced by the consistent histories approach to quantum theory. The acceptance of relative phases as a primitive ingredient of any quantum theory, liberates us from the need to use a Hilbert space and non-commutative observables. It is shown, that quantum phenomena are adequately described by a theory of relative phases and non-additive probabilities on the classical phase space. The only difference lies on the type of observables that correspond to sharp measurements. This class of theories does not suffer from the consequences of Bell's theorem (it is not a theory of Kolmogorov probabilities) and Kochen- Specker's theorem (it has distributive "logic"). We discuss its predictability properties, the meaning of the classical limit and attempt to see if it can be experimentally distinguished from standard quantum theory. Our construction is operational and statistical, in the spirit of Kopenhagen, but makes plausible the existence of a realist, geometric theory for individual quantum systems.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖希尔伯特空间或非对易可观测量的、操作性且统计性的量子理论形式化。
• 解决爱因斯坦与玻姆所要求的、对单个系统进行实证性量子理论描述的长期挑战。
• 表明在量子理论中，相对相位——通过干涉可测量——与概率一样基本。
• 证明仅使用经典相空间与相干性泛函，即可重现标准量子力学的所有预测，而无需标准希尔伯特空间结构。
• 探讨该理论是否可与标准量子力学在实验上区分，评估其预测能力与经典极限。

提出的方法

• 以一致历史方法中的退相干（或相干）泛函为核心对象，编码概率与相对相位。
• 将可观测量表示为经典相空间上的函数，避免使用非对易代数。
• 应用 Wigner 变换将量子态映射为相空间分布，构造出能重现量子预测的相干性泛函。
• 将相对相位视为基本物理实体，由 Berry 连接生成，而非从希尔伯特空间推导而来。
• 构建一种理论，其中精确测量对应于相空间的子集，而非投影算符。
• 采用非加性概率测度以描述干涉效应，使该框架与柯尔莫哥洛夫概率论相区别。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子理论能否在不使用希尔伯特空间的前提下，仅通过经典相空间与相干性泛函来表述？
• RQ2 量子力学中的相对相位是否在物理上是基本的、且在操作上可测量的，如同概率一样？
• RQ3 基于经典可观测量与非加性相干性泛函的理论，能否重现标准量子力学的所有预测？
• RQ4 该理论是否因非柯尔莫哥洛夫概率理论与分配性逻辑，而避免贝尔定理与 Kochen-Specker 定理？
• RQ5 是否存在一条可行路径，构建一个基于相空间的实证性、几何化个体量子系统理论？

主要发现

• 当通过 Wigner 变换在经典相空间上构造时，相干性泛函完全重现了标准量子理论的统计预测。
• 该理论避免贝尔定理，因其并非柯尔莫哥洛夫概率理论；由于干涉相位的存在，其使用非加性测度。
• 该理论避免 Kochen-Specker 定理，因其逻辑具有分配性，与标准量子理论的非分配性逻辑不同。
• 相对相位被证明是可测量且物理上基本的，不能仅由概率推导而来。
• 该框架表明，可在经典相空间上构建实证性、几何化的个体量子系统理论，尽管目前尚未推导出完整的此类理论。
• 该理论与标准量子力学在实验上仍难以区分，因为其统计预测完全相同。