[论文解读] Quantum Tomography of Semi-Algebraic Sets with Constrained Measurements

Michael Kech, Michael M. Wolf|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文建立了在密度矩阵的半代数子集内，唯一区分所有量子态所需受限量子测量（特别是投影到一维投影值测量、冯·诺依曼测量或局部可观测量）数量的通用上界。当半代数集 $ S $ 满足 $ k(n-1) > 2\dim(S) $ 时，$ k $ 个通用冯·诺依曼测量即足够；对于秩不超过 $ r $ 的低秩态，当 $ k(n-1) > 4r(n-r)-2 $ 时，$ k $ 个通用冯·诺依曼测量亦足够，该结果借助实代数几何工具得出。

ABSTRACT

We analyse quantum state tomography in scenarios where measurements and states are both constrained. States are assumed to live in a semi-algebraic subset of state space and measurements are supposed to be rank-one POVMs, possibly with additional constraints. Specifically, we consider sets of von Neumann measurements and sets of local observables. We provide upper bounds on the minimal number of measurement settings or outcomes that are required for discriminating all states within the given set. The bounds exploit tools from real algebraic geometry and lead to generic results that do not only show the existence of good measurements but guarantee that almost all measurements with the same dimension characteristic perform equally well. In particular, we show that on an $n$-dimensional Hilbert space any two states of a semi-algebraic subset can be discriminated by $k$ generic von Neumann measurements if $k(n-1)$ is larger than twice the dimension of the subset. In case the subset is given by states of rank at most $r$, we show that $k$ generic von Neumann measurements suffice to discriminate any two states provided that $k(n-1)>4r(n-r)-2$. Furthermore, we obtain corresponding results for low-rank matrix recovery of hermitian matrices and the phase retrieval problem.

研究动机与目标

• 确定唯一识别约束于态空间半代数子集中的量子态所需的最少测量设置数。
• 分析在结构约束下，针对投影到一维投影值测量、冯·诺依曼测量和局部可观测量的情形。
• 推导适用于几乎所有同维数测量配置的、基于维数的通用界，以约束测量需求。
• 将结果扩展至低秩矩阵恢复与相位恢复问题，且在类似几何约束下保持一致。

提出的方法

• 利用实代数几何工具刻画量子态半代数集的维数与结构。
• 应用通用性论证，表明几乎所有同维数的测量设置在态区分中表现相当。
• 基于态集维数与希尔伯特空间维数 $ n $，推导测量设置数 $ k $ 的界。
• 考虑秩约束态（秩 $ \leq r $），并推导更紧的界：当 $ k(n-1) > 4r(n-r)-2 $ 时，$ k $ 个通用冯·诺依曼测量即足够。
• 通过调整几何约束与测量模型，将框架扩展至低秩厄米特矩阵恢复与相位恢复问题。
• 采用代数几何技术证明：适当维数的通用测量可实现完全可区分性，且无需特定校准。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子态的半代数子集中，唯一区分所有态所需的最少测量设置数是多少？
• RQ2 通用冯·诺依曼测量在区分半代数集内态时表现如何？在何种条件下可保证其性能？
• RQ3 能否利用态集的维数与秩约束，推导出所需测量数的显式界？
• RQ4 在固定维数下，通用测量配置在多大程度上能实现整个集合中的最优态区分？
• RQ5 这些结果如何推广至在类似几何约束下的低秩矩阵恢复与相位恢复问题？

主要发现

• 对于 $ n $ 维希尔伯特空间中任意半代数子集 $ S $，若 $ k(n-1) > 2\dim(S) $，则 $ k $ 个通用冯·诺依曼测量足以区分 $ S $ 中所有态。
• 对于秩至多为 $ r $ 的态子集，当 $ k(n-1) > 4r(n-r)-2 $ 时，$ k $ 个通用冯·诺依曼测量即足够。
• 该界具有通用性：几乎所有与所需最小设置同维数的测量配置表现相当。
• 结果可推广至低秩厄米特矩阵恢复，提供类似测量数的界。
• 相位恢复问题在相同几何框架下得到处理，为测量设置推导出类似界。
• 分析表明，最少测量数由希尔伯特空间维数与态集内在维数之间的相互作用决定。