[论文解读] Quantum walk search algorithms and effective resistance

Stephen Piddock|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子行走算法，可在 $O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ 次量子行走步骤内找到图中的标记顶点，其中 $R_{\sigma,M}$ 是从初始分布到标记集合的有效电阻，$\tilde{W}$ 是总权重的上界。该算法通过利用相位估计算法制备电流通量态并测量该态，将 Belovs 的检测框架扩展至输出一个标记顶点。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a marked vertex in a graph from an arbitrary starting distribution, using a quantum walk based algorithm. We work in the framework introduced by Belovs which showed how to detect the existence of a marked vertex in $O(\sqrt{RW})$ quantum walk steps, where $R$ is the effective resistance and $W$ is the total weight of the graph. Our algorithm outputs a marked vertex in the same runtime up to a logarithmic factor in the number of marked vertices. When starting in the stationary distribution, this recovers the recent results of Ambainis et al. We also describe a new algorithm to estimate the effective resistance $R$.

研究动机与目标

• 开发一种基于量子行走的算法，能够输出图中的标记顶点，而不仅仅是检测其存在。
• 将 Belovs 的量子行走检测算法推广，使其从任意初始分布出发具备输出顶点的能力。
• 实现与多个标记顶点情况下最佳已知结果相当的运行时间，特别是当从平稳分布出发时，恢复 Ambainis 等人的 $O(\sqrt{HT})$ 结果。
• 提出一种新方法，以 $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ 步估计有效电阻 $R_{s,M}$，实现乘法误差 $\epsilon$。
• 建立一个简洁、通用的证明，说明电流通量态在任意图中如何出现，扩展了以往依赖树结构特性的结果。

提出的方法

• 构建一个修改后的图 $G'$，通过添加额外边来模拟初始状态与标记集合之间的电压源，从而在电流通量态上实现相位估计。
• 对 $G'$ 的量子行走算符使用相位估计，制备一个近似于从初始分布到标记顶点的电流通量态的量子态 $|\Phi\rangle$。
• 应用幅度估计算法，估计相位估计结果与所有零辅助 qubit 之间的重叠，该重叠与有效电阻 $R_{\sigma,M}$ 相关。
• 从重缩放的电阻参数 $x \in [a,b]$ 的分布中采样，其概率密度为 $1/(x \log(b/a))$，以放大测量到标记顶点的成功概率。
• 利用有效电阻 $R_{s',M'}(x)$ 关于 $x$ 的导数等于电流 $q(x)$ 的事实，且在最坏情况下 $q(x) \geq 1/|M|$，从而界定区间 $[a,b]$，使得 $b/a = O(|M|)$。
• 重复在采样得到的 $x$ 值上进行相位估计与测量，直到找到一个标记顶点，从而实现期望试验次数为 $O(\log(b/a))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一种仅能检测标记顶点的量子行走算法修改为从任意初始分布出发输出实际的标记顶点？
• RQ2 在存在多个标记顶点的情况下，以有效电阻和图总权重表示时，找到标记顶点的最优运行时间是什么？
• RQ3 如何使用受控乘法误差的量子行走步数来估计源点与标记集合之间的有效电阻？
• RQ4 在一般图中，能否利用相位估计产生的电流通量态以高概率采样到标记顶点，而不仅限于树结构？
• RQ5 当从任意分布出发时，该算法的运行时间对标记顶点数量 $|M|$ 的依赖关系如何？

主要发现

• 该算法在 $O(\sqrt{R_{\sigma,M} \tilde{W}} \log^3(|M|))$ 次量子行走步骤内输出一个标记顶点，其运行时间与目前已知最佳结果在 $|M|$ 的对数因子内一致。
• 当初始分布 $\sigma$ 为平稳分布时，该算法在 $\log(|M|)$ 因子内恢复了 Ambainis 等人 [1] 的 $O(\sqrt{HT})$ 运行时间。
• 有效电阻 $R_{s,M}$ 可以在 $O(\sqrt{R_{s,M} \tilde{W}} / \epsilon^2)$ 步内以乘法误差 $\epsilon$ 估计，通过重复低精度相位估计可能进一步优化。
• 采样过程中使用的区间 $[a,b]$ 满足 $b/a = O(|M|)$，从而确保运行时间中的 $\log^3(b/a)$ 因子为 $O(\log^3(|M|))$。
• 有效电阻关于所加电流 $x$ 的导数等于电流 $q(x)$，且 $q(x) \geq 1/|M|$ 意味着 $R_{s',M'}(b) - R_{s',M'}(a) \geq (b-a)/|M|$，从而支持该区间的界定。
• 电流通量态制备的证明具有普遍性，适用于所有图，而不仅限于树，其依据是线性系统中电流通量的连续性与线性性质。