[论文解读] Quantum Walks on Embeddings

Hanmeng Zhan|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了顶点-面行走（vertex-face walks），一种基于可定向图嵌入的新型离散量子行走模型，利用弧-面和弧-尾关联结构进行定义。通过在归一化关联矩阵上进行反射构造酉转移矩阵，作者建立了谱对应关系，并表明当顶点-面结构构成部分几何设计时，$U^2$ 的主对数生成一个有向图，揭示了其与量子搜索及非经典动力学的联系。

ABSTRACT

We introduce a new type of discrete quantum walks, called vertex-face walks, based on orientable embeddings. We first establish a spectral correspondence between the transition matrix $U$ and the vertex-face incidence structure. Using the incidence graph, we derive a formula for the principal logarithm of $U^2$, and find conditions for its underlying digraph to be an oriented graph. In particular, we show this happens if the vertex-face incidence structure forms a partial geometric design. We also explore properties of vertex-face walks on the covers of a graph. Finally, we study a non-classical behavior of vertex-face walks.

研究动机与目标

• 定义一种基于可定向图嵌入的新离散量子行走模型——顶点-面行走。
• 建立转移矩阵 $U$ 与顶点-面关联结构之间的谱对应关系。
• 研究 $\log(U^2)$ 的底层有向图为有向图的条件，特别是将其与部分几何设计相联系。
• 研究顶点-面行走在图覆盖上的动力学行为，并与经典随机行走进行比较。
• 通过图编码地图（gems）将该模型推广至非可定向嵌入，并分析其可约性与与旗图上行走的等价性。

提出的方法

• 从可定向嵌入中面边界的一致定向出发，定义弧-面关联矩阵 $M$ 和弧-尾关联矩阵 $N$。
• 对 $M$ 和 $N$ 进行归一化，得到 $\widehat{M}$ 和 $\widehat{N}$，然后构造酉转移矩阵 $U = (2\widehat{M}\widehat{M}^T - I)(2\widehat{N}\widehat{N}^T - I)$。
• 利用顶点-面结构的关联图，推导出 $U^2$ 的主对数的公式。
• 刻画 $\log(U^2)$ 的有向图为有向图的条件，表明当顶点-面结构构成部分几何设计时，该条件成立。
• 使用谱学与组合技术分析图覆盖上的顶点-面行走。
• 通过图编码地图（gems）将模型扩展至非可定向嵌入，其中旗代表顶点，行走定义在三色边的立方图上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\log(U^2)$ 的有向图为有向图？
• RQ2 顶点-面行走的谱结构如何与嵌入的组合性质相关联？
• RQ3 顶点-面行走与连续量子行走之间存在何种关系，特别是当 $U = \exp(tS)$ 且 $S$ 为反对称邻接矩阵时？
• RQ4 在动力学行为与搜索效率方面，顶点-面行走与经典随机行走相比有何异同？
• RQ5 顶点-面行走模型能否推广至非可定向嵌入？此类情况下会涌现出何种结构性质？

主要发现

• 顶点-面行走的转移矩阵 $U$ 是酉矩阵，且作为两次反射的乘积构造而成：一次作用于归一化弧-面关联矩阵的列空间，另一次作用于归一化弧-尾关联矩阵的列空间。
• 建立了 $U$ 与顶点-面关联结构之间的谱对应关系，从而能够推导出 $U^2$ 的主对数的公式。
• 当且仅当顶点-面关联结构构成部分几何设计时，$\log(U^2)$ 的底层有向图为有向图。
• 顶点-面行走表现出非经典行为：其可长期局域在初始状态附近，而经典随机行走通常会扩散开来。
• 在环面网格 $C_n \square C_n$ 上，由于能够单步在非相邻弧之间跃迁，顶点-面行走的搜索算法成功率高于弧反转行走。
• 对于非可定向嵌入，顶点-面行走等价于在 gem（图编码地图）的距离-2图的一个连通分量的顶点上的量子行走，且当且仅当原始嵌入为可定向时，该行走是可约的。