[论文解读] Quantum Walks On Graphs

Dorit Aharonov, Andris Ambainis+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了图上量子行走的基础理论，引入了经典混合时间与扩散度量的量子类比。研究证明，图上循环的量子行走相比经典随机行走实现了近乎二次加速，同时证明量子行走相比经典对应物最多具有多项式加速，且对于有界度数图，该加速的紧致二次界成立。

ABSTRACT

We set the ground for a theory of quantum walks on graphs- the generalization of random walks on finite graphs to the quantum world. Such quantum walks do not converge to any stationary distribution, as they are unitary and reversible. However, by suitably relaxing the definition, we can obtain a measure of how fast the quantum walk spreads or how confined the quantum walk stays in a small neighborhood. We give definitions of mixing time, filling time, dispersion time. We show that in all these measures, the quantum walk on the cycle is almost quadratically faster then its classical correspondent. On the other hand, we give a lower bound on the possible speed up by quantum walks for general graphs, showing that quantum walks can be at most polynomially faster than their classical counterparts.

研究动机与目标

• 将图上的量子行走形式化为经典随机行走的推广，基于希尔伯特空间上图与辅助比特态的张量积的酉演化。
• 为量子行走定义有意义的收敛度量，因为其单位性导致无法收敛到平稳分布。
• 从混合时间、采样时间与扩散时间的角度，分析量子行走相比经典随机行走的速度提升。
• 建立量子行走速度提升的一般下界，证明其最多为多项式加速，且对于有界度数图，其为二次加速。
• 探索量子行走的算法潜力，特别是加速采样与态制备的能力。

提出的方法

• 将量子行走定义为图的希尔伯特空间与辅助比特空间张量积上的酉算符，其中振幅仅在图的边上非零。
• 引入极限分布作为概率分布的时间平均，从而在酉演化下实现收敛性分析。
• 定义关键度量：混合时间（趋近极限分布所需时间）、采样时间、填充时间与扩散时间。
• 使用带币的量子行走模型分析环形图，证明其混合时间为 $O(n\log n)$，相比经典行走的 $O(n^2)$ 实现了近乎二次加速。
• 利用图的导出率 $\Phi$ 建立量子行走速度提升的一般下界，证明量子行走最多快 $O(1/\Phi)$ 倍，且在带币行走中可实现 $O(1/d)$ 的因子改进。
• 通过谱论与概率论论证，限制小邻域的逃逸率，并基于边界大小与导出率推导采样时间的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 图上的量子行走能否实现相比经典随机行走的速度提升？若能，该提升最大可达多大？
• RQ2 鉴于单位性导致无法存在平稳分布，量子设置下经典混合时间与收敛度量的合适类比是什么？
• RQ3 在环形图上观察到的二次加速是否为最优？其他图上是否存在更大的加速？
• RQ4 量子行走能否实现以图导出率 $\Phi$ 表示的混合时间 $1/\Phi$ 下界？该下界是否可通过高效构造实现？
• RQ5 非阿贝尔凯莱图上量子行走的极限分布结构如何？其与经典行走有何不同？

主要发现

• 图上循环的量子行走混合时间为 $O(n\log n)$，相比经典随机行走的 $O(n^2)$ 混合时间实现了近乎二次加速。
• 对于有界度数图，量子行走相比经典随机行走的最大加速最多为二次，由混合时间的 $O(1/\Phi)$ 下界所证明。
• 阿贝尔群凯莱图上量子行走的极限分布为均匀分布，且与初始状态无关，推广了经典平稳性。
• 为非酉量子行走的采样时间建立了 $\Omega(1/\Phi')$ 的一般下界，其中 $\Phi'$ 为修正的导出率参数。
• 本文表明，量子行走相比经典行走最多具有多项式加速，且对于正则图，二次加速界是紧致的。
• 对对称群 $S_3$ 上的量子行走，其极限分布与经典对应物不同，表明在非阿贝尔群上存在非平凡行为。