[论文解读] Quasi-continuous random variables and processes under the G-expectation framework

Mingshang Hu, Falei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过PDE技巧和Krylov估计，在$G$-期望框架下建立了$G$-可积过程的刻画，并识别出一类关于$G$-Itô过程的拟连续随机过程。研究证明，由多项式增长的博雷尔可测函数驱动的$G$-Itô过程是拟连续的，从而支持收敛定理的建立，并推动了$G$-随机分析的发展，特别是在非马尔可夫型SDE和非利普希茨条件下的倒向方程研究。

ABSTRACT

In this paper, we first use PDE techniques and probabilistic methods to identify a kind of quasi-continuous random variables. Then we give a characterization of the $G$-integrable processes and get a kind of quasi-continuous processes by Krylov's estimates. This result is useful for the development of $G$-stochastic analysis theory. Moreover, it also provides a tool for the study of the non-Markovian Itô processes.

研究动机与目标

• 为克服在$G$-期望框架下验证拟连续性的挑战，其中代表集$\mathcal{P}$中的测度可能相互奇异。
• 发展$G$-可积过程空间$M_G^p(0,T)$的刻画，推广先前结果。
• 为$G$-Itô过程建立弱控制收敛定理，促进对非利普希茨系数SDE和倒向方程的分析。
• 为构造可容许控制的逼近并证明$G$-SDE中的马尔可夫性质提供基础。

提出的方法

• 使用PDE技巧和随机控制方法，识别与$G$-Itô过程相关的极集，从而实现对不规则博雷尔函数的拟连续性。
• 应用Krylov估计，构造$M_G^1(0,T)$中一类拟连续的渐进可测过程。
• 在$G$-期望设定下建立拟连续过程的单调收敛定理。
• 利用推论4.13，通过函数的$L^p$-范数界定$G$-期望的积分，建立$L^p$-可积性与$G$-可积性之间的联系。
• 在$L^p$-空间中应用控制收敛定理，证明逼近序列的$G$-期望收敛性。
• 构造连续且具有紧台集的逼近序列，其几乎处处收敛于多项式增长的博雷尔可测函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$G$-期望框架下，能否证明由多项式增长的博雷尔可测函数驱动的$G$-Itô过程是拟连续的？
• RQ2 在驱动函数仅为可测函数时，何种条件可确保$G$-Itô过程序列在$G$-期望下收敛？
• RQ3 如何将Krylov估计适应于$G$-期望设定下生成拟连续过程？
• RQ4 能否为$G$-Itô过程建立弱控制收敛定理，以处理SDE和BSDE中的非利普希茨系数？
• RQ5 极集在刻画$G$-随机过程拟连续性方面起什么作用？

主要发现

• 当$p \geq n+1$时，若$\psi \in L^p([0,T] \times \mathbb{R}^n)$，则过程$(\psi(t,X_t))_{t \leq T}$属于$M_G^1(0,T)$，且对$\psi$的版本几乎处处成立。
• 当$p \geq n$时，若$\varphi \in L^p(\mathbb{R}^n)$，则过程$(\varphi(X_t))_{t \leq T}$属于$M_G^1(0,T)$，且对$\varphi$的版本几乎处处成立。
• 若$\varphi^k \to \varphi$ a.e. 且$|\varphi^k| \leq \bar{C}(1+|x|^l)$，则当$k \to \infty$时，有$\mathbb{\hat{E}}[\int_0^T |\varphi^k(X_t) - \varphi(X_t)|^p dt] \to 0$，从而建立弱控制收敛定理。
• 对任意博雷尔可测且多项式增长的$\varphi$，有$(\varphi(X_t))_{t \leq T} \in M_G^2(0,T)$，这确保了过程的$G$-可积性，并允许通过连续函数进行逼近。
• 由Krylov估计导出的收敛速率使得能够研究非马尔可夫型Itô过程的样本路径性质，如可微性和最大值。
• 本研究结果为证明$G$-SDE的马尔可夫性质以及在$G$-随机控制问题中构造逼近提供了关键工具。