[论文解读] Dynamic Programming Principle for Stochastic Recursive Optimal Control Problem under G-framework

Mingshang Hu, Shaolin Ji|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文在G-框架下建立了随机递归最优控制问题的动态规划原理（DPP），其中代价泛函由由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（BSDE）定义。关键贡献在于证明了值函数是完全非线性HJB方程的粘性解，从而通过在非一致概率测度上的上确界-下确界公式，实现了在波动率不确定性下的鲁棒控制。

ABSTRACT

In this paper, we study a stochastic recursive optimal control problem in which the cost functional is described by the solution of a backward stochastic differential equation driven by G-Brownian motion. Under standard assumptions, we establish the dynamic programming principle and the related fully nonlinear HJB equation in the framework of G-expectation. Finally, we show that the value function is the viscosity solution of the obtained HJB equation.

研究动机与目标

• 将动态规划原理扩展至在G-框架下建模波动率不确定性的随机递归最优控制问题。
• 通过由G-布朗运动驱动的BSDE定义代价泛函，实现模型模糊性下的鲁棒控制。
• 证明在G-期望背景下，值函数满足一个完全非线性Hessian-Bellman（HJB）方程。
• 建立所导出的HJB方程的值函数的粘性解性质。
• 通过G-框架与拟sure随机分析，将经典随机控制结果推广至鲁棒设置。

提出的方法

• 使用由G-布朗运动驱动的受控SDE描述状态动态，包含漂移项、扩散项及二次变差项。
• 将代价泛函定义为由G-布朗运动驱动的BSDE的解，其生成器函数依赖于状态、控制与前向过程。
• 应用后向半群方法，在G-框架下推导动态规划原理。
• 利用G-期望作为非一致概率测度族上确界的表示，将控制问题重述为一个上确界-下确界优化问题。
• 通过条件G-期望的极限推导HJB方程，并在参考测度下应用BSDE的比较定理。
• 通过扰动分析与条件期望的收敛性，证明值函数是HJB方程的粘性解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将动态规划原理扩展至在G-框架下具有波动率不确定性的随机递归最优控制问题？
• RQ2 在该鲁棒控制设置中，控制值函数所遵循的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的形式是什么？
• RQ3 在G-期望下的完全非线性PDE背景下，值函数与粘性解概念有何关联？
• RQ4 由G-布朗运动驱动的BSDE的解能否表示为一族概率测度上的上确界？这如何影响控制问题？
• RQ5 在该推广框架下，值函数及其粘性解性质的存在性与唯一性需满足何种条件？

主要发现

• 在G-框架下，随机递归最优控制问题的动态规划原理成立，值函数可表示为条件G-期望的下确界。
• 值函数满足一个完全非线性HJB方程，其包含BSDE的生成器及G-期望的非线性期望结构。
• 值函数被证明是HJB方程的粘性解，从而在G-框架下建立了随机控制与非线性PDE之间的基本联系。
• 由G-布朗运动驱动的BSDE的解可表示为一族非一致概率测度上经典期望的上确界。
• 证明依赖于G-期望支撑中存在一个参考概率测度，使得条件数学期望退化为确定性极限，从而支持比较定理的成立。
• 通过扰动分析及时间跨度趋于零时条件期望的极限，建立了粘性解性质。