[论文解读] Quasi-Hamiltonian Geometry of Meromorphic Connections

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文引入了一类新的具有 G-值矩量映射的复数拟哈密顿 G-空间，其来源于具有单个 k ≥ 2 阶极点的圆盘上主 G-丛上全纯联络的模空间。关键贡献在于：通过融合这些新基本构件，实现了对任意亏格黎曼曲面上全纯联络的单值/ Stokes 数据空间的有限维对称结构构造，并给出了等单值形变对称性质的全新证明。

ABSTRACT

For each connected complex reductive group G, we find a family of new examples of complex quasi-Hamiltonian G-spaces with G-valued moment maps. These spaces arise naturally as moduli spaces of (suitably framed) meromorphic connections on principal G-bundles over a disc, and they generalise the conjugacy class example of Alekseev, Malkin and Meinrenken (which appears in the simple pole case). Using the `fusion product' in the theory this gives a finite dimensional construction of the natural symplectic structures on the spaces of monodromy/Stokes data of meromorphic connections over arbitrary genus Riemann surfaces, together with a new proof of the symplectic nature of isomonodromic deformations of such connections.

研究动机与目标

• 构造黎曼曲面上具有高阶极点的全纯联络的有限维对称模空间。
• 将拟哈密顿框架推广至共轭类和双倍 D 之外，纳入由极点阶数 k 参数化的新型基本构件。
• 通过融合与约化，提供等单值形变对称性质的有限维证明。
• 在新的拟哈密顿空间与具有不规则奇点的全纯联络模空间之间建立几何联系。
• 使用拟哈密顿几何与 Stokes 数据，将 Atiyah–Bott 方法推广至奇异联络。

提出的方法

• 对每个 k ≥ 2，构造一个复数拟哈密顿 G×T-空间 $\widetilde{\mathcal{C}} = G \times (U_+ \times U_-)^{k-1} \times \mathfrak{t}$，其中 G 为复半单群。
• 通过 $ (g,t) \cdot (C, S_1, \dots, S_{2k-2}, \Lambda) = (t C g^{-1}, t S_1 t^{-1}, \dots, t S_{2k-2} t^{-1}, \Lambda) $ 定义 G×T 在 $\widetilde{\mathcal{C}}$ 上的作用。
• 引入一个 G×T-值的矩量映射 $ (\mu, e^{-2\pi i \Lambda}) $，其中 $ \mu(C, \mathbf{S}, \Lambda) = C^{-1} S_{2k-2} \cdots S_1 e^{2\pi i \Lambda} C $。
• 通过映射 $ D_j, E_j $ 拉回左不变形式，利用 $ \epsilon = e^{\pi i \Lambda / (k-1)} $，推导出 $\widetilde{\mathcal{C}}$ 上的闭的、G×T-不变的二阶微分形式 $ \omega $。
• 通过 T 约化 $\widetilde{\mathcal{C}}$，得到一个拟哈密顿 G-空间 $ \mathcal{C} = \widetilde{\mathcal{C}}|_{\Lambda} / T \cong (G \times (U_+ \times U_-)^{k-1}) / T $。
• 在拟哈密顿框架中使用融合与约化，构造任意亏格黎曼曲面上全纯联络的单值/Stokes 数据模空间的对称结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拟哈密顿几何扩展，以构造具有高阶极点的全纯联络的对称模空间？
• RQ2 在拟哈密顿框架中，不规则奇点联络的自然基本构件是什么？
• RQ3 是否可以有限且代数地构造全纯联络 Stokes 数据空间上的对称结构？
• RQ4 拟哈密顿约化过程与不规则联络的黎曼–希尔伯特对应关系有何关联？
• RQ5 在亏格为 1 的圆盘上具有单个 k ≥ 2 阶极点的全纯联络的框架模空间的几何与代数结构是什么？

主要发现

• 对每个 k ≥ 2，空间 $\widetilde{\mathcal{C}} = G \times (U_+ \times U_-)^{k-1} \times \mathfrak{t}$ 是一个具有 G×T-值矩量映射的复数拟哈密顿 G×T-空间。
• 约化空间 $\mathcal{C} = \widetilde{\mathcal{C}}|_{\Lambda} / T $ 是一个复数拟哈密顿 G-空间，为构造模空间提供了新的基本构件。
• 在 $\widetilde{\mathcal{C}} $ 上的二阶微分形式 $ \omega $ 是闭的且 G×T-不变的，通过映射 $ D_j, E_j $ 拉回左不变形式定义，并满足拟哈密顿条件。
• 当 k=2 时，$\widetilde{\mathcal{C}} \cong G \times G^* $，其中 $ G^* $ 是 G 的泊松-李对偶，且 $\widetilde{\mathcal{C}}/G $ 上的诱导泊松结构与 $ G^* $ 上的标准泊松结构一致。
• 当 k=2 时，$\widetilde{\mathcal{C}} $ 的加法类比为余切丛 $ T^*G $，将该构造与经典几何力学联系起来。
• 该构造为任意亏格黎曼曲面上全纯联络的等单值形变的对称性质提供了有限维、代数化的证明。