[论文解读] Quasi-invariant means and Zimmer amenability

Gábor Elek, Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过加权Følner序列，建立了在群作用下可数集上存在拟不变均值的必要且充分条件。引入了加权超有限性作为暗示Zimmer一致可约性的几何准则，证明了可约群和有限渐近维数群为加权超有限，并通过平衡权函数构造了无原子不变测度。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a countable group acting on a countable set $X$ by permutations. We give a necessary and sufficient condition for the action to have a quasi-invariant mean with a given cocycle. This can be viewed as a combinatorial analogue of the condition for the existence of a quasi-invariant measure in the Borel case given by Miller. Then we show a geometric condition that guarantees that the corresponding action on the Stone-Čech compactification is Zimmer amenable. The geometric condition (weighted hyperfiniteness) resembles Property A. We do not know the exact relation between the two notions, however, we can show that amenable groups and groups of finite asymptotic dimension are weighted hyperfinite.

研究动机与目标

• 为可数Γ-集上存在w-不变均值提供必要且充分条件。
• 在图和群中引入并研究加权超有限性的概念，作为Property A的几何类比。
• 在Stone-Čech紧化背景下，建立加权超有限性与Zimmer一致可约性之间的联系。
• 证明可约群和有限渐近维数群为加权超有限。
• 在非可约群上构造一个平衡权函数，使得其在βΓ上的关联测度为无原子。

提出的方法

• 通过积分条件 $\mu(gA) = \int_A \frac{w(gx)}{w(x)} \, d\mu(x)$ 定义w-不变均值，其中 $g \in \Gamma$ 且 $A \subseteq X$。
• 将w-Følner序列定义为经典Følner序列的推广，要求对充分大的 $n$ 满足 $\frac{\sum_{x \in gF_n \cup F_n} w(x)}{\sum_{x \in F_n} w(x)} < 1 + \epsilon$。
• 定义图的加权超有限性：对任意 $\epsilon > 0$，每个有限诱导子图均存在一个权值小且连通分支大小有界的 $(w,\epsilon)$-分离集。
• 证明加权超有限性在拟等距变换下不变，从而可定义加权超有限群。
• 通过Cayley图中顶点不相交球的构造，定义一个平衡权函数 $w$，使得w-Følner序列存在。
• 通过将大球划分为测度较小的部分，证明关联测度 $\widetilde{\mu}_{F,\omega}$ 在 $\beta\Gamma$ 上为无原子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可数Γ-集上，存在w-不变均值的必要且充分条件是什么？
• RQ2 加权超有限性与Property A及Zimmer一致可约性有何关系？
• RQ3 哪些群是加权超有限的？这与可约性及渐近维数有何关联？
• RQ4 能否在非可约群上构造一个平衡权函数，使得其在βΓ上的关联测度为无原子？
• RQ5 w-Følner序列的存在性是否等价于w-不变均值的存在性？

主要发现

• 在可数Γ-集上，w-Følner序列的存在性是w-不变均值存在的必要且充分条件。
• 加权超有限性蕴含在Stone-Čech紧化 $\beta\Gamma$ 上作用的Zimmer一致可约性。
• 可约群和有限渐近维数群为加权超有限。
• 对任意有限生成的非可约群，存在一个平衡权函数 $w$，使得w-Følner序列存在，且其在 $\beta\Gamma$ 上的关联测度为无原子。
• $\beta\Gamma$ 上的测度 $\widetilde{\mu}_{F,\omega}$ 为无原子，因为 $\beta\Gamma$ 可被划分为任意小测度的有限个Borel集合。
• 通过在不相交球中以同心球构造 $w$，可确保平衡性，并使w-Følner性质成立。