[论文解读] Quasi-Kähler manifolds with trivial Chern Holonomy

Antonio J. Di Scala, Luigi Vezzoni|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文将具有平凡陈holonomy（陈-flat）的紧致拟凯勒流形分类，证明其全为具有特定复结构的2步幂零流形。此外，证明此类复结构仅当流形为复环面时才可被辛形式控制，通过李代数技巧与幂零流形上形式的上同调分析，解决了凯勒几何中的一个猜想性问题。

ABSTRACT

In this paper we study almost complex manifolds admitting a quasi-Kähler Chern-flat metric (Chern-flat means that the holonomy of the Chern connection is trivial). We prove that in the compact case such manifolds are all nilmanifolds. Some partial classification results are established and we prove that a quasi-Kähler Chern-flat structure can be tamed by a symplectic form if and only if the ambient space is isomorphic to a flat torus.

研究动机与目标

• 对 admit 一个具有平凡陈holonomy（陈-flat）的拟凯勒度量的紧致几乎复流形进行分类。
• 确定此类结构在何种条件下可被辛形式控制，扩展对伊瓦沙瓦流形结果的研究。
• 通过其复化分解的代数条件，刻画这些流形的底层李代数。
• 研究拟凯勒陈-flat李代数的无穷小形变。
• 在辛形式控制下，建立陈-flatness、可积性与凯勒性之间的联系。

提出的方法

• 利用Palais定理，将紧致陈-flat拟凯勒流形的分类问题简化为对具有特定复结构的2步幂零李代数的分类。
• 在拟凯勒设定下应用陈联络的简化公式，利用其挠率与曲率性质。
• 在万有覆盖上使用余标架形式，表达形式并推导涉及∂̄和A算子的微分方程。
• 分析(2,0)-形式β满足∂̄β + Aβ̄ = 0的条件，以证明其闭性，利用紧致性与不变性。
• 利用李代数分解𝔤 = 𝔛 ⊕ 𝔠（𝔠为中心）的结构，推导上同调约束。
• 应用[4]和[13]中的结果，将陈-flatness与在辛形式控制下的可积性及凯勒度量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些紧致几乎复流形 admit 一个具有平凡陈holonomy的拟凯勒度量？
• RQ2 在何种条件下，拟凯勒陈-flat结构可被辛形式控制？
• RQ3 定义此类流形李代数的代数条件为何？
• RQ4 这些李代数的无穷小形变行为如何？
• RQ5 在拟凯勒设定下，陈-flatness是否意味着几乎复结构的可积性？

主要发现

• 所有紧致拟凯勒陈-flat流形都同构于具有左不变几乎复结构的2步幂零流形，且满足[𝔤^{1,0}, 𝔤^{0,1}] = 0 与 [𝔤^{1,0}, 𝔤^{1,0}] ⊆ 𝔤^{0,1}。
• 拟凯勒陈-flat李代数的无穷小形变空间为平凡，表明该结构具有刚性。
• 在紧致陈-flat拟凯勒流形上，若(2,0)-形式β满足∂̄β + Aβ̄ = 0，则其必为闭形式，即dβ = 0。
• 若存在一个辛形式控制一个拟凯勒陈-flat结构，则该度量必为凯勒度量，且流形必为复环面。
• 陈联络的holonomy为平凡，当且仅当底层李代数满足指定的可积性与括积条件。
• 具有J₃的伊瓦沙瓦流形是紧致拟凯勒陈-flat流形的典型例子，且无法被辛形式控制。