[论文解读] Quasi-Lie bialgebroids and twisted Poisson manifolds

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Dec 17, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 32

一句话总结

本文通过辛超流形上的哈密顿函数，引入了拟李双胚的同调框架，统一了带有3-形式背景的扭 Poisson 结构，并推广了李双胚。关键贡献在于一个谱序列和导出括号构造，可恢复 Courant 双胚结构，并表明在规范等价下的扭 Poisson 流形具有同构的拟李双胚。

ABSTRACT

We develop a theory of quasi-Lie bialgebroids using a homological approach. This notion is a generalization of quasi-Lie bialgebras, as well as twisted Poisson structures with a 3-form background which have recently appeared in the context of string theory, and were studied by Ševera and Weinstein using a different method.

研究动机与目标

• 通过辛超流形和哈密顿函数发展拟李双胚的同调理论。
• 为带有闭3-形式背景的扭 Poisson 流形提供一种替代 Severa 和 Weinstein 的 Courant 双胚方法的途径。
• 建立拟李双胚与多向量场或微分形式上的微分拟-格伦斯坦哈伯代数之间的对应关系。
• 通过同调双重上的典范变换阐明规范变换在扭 Poisson 几何中的作用。
• 证明规范等价的扭 Poisson 结构诱导出同构的拟李双胚及同构的谱序列。

提出的方法

• 通过在辛超流形 𝔈 = T*ΠA 上定义三个哈密顿函数 μ、γ 和 φ，其总度数分别为 (1,2)、(2,1) 和 (0,3)，来定义拟李双胚。
• 要求总哈密顿函数 Θ = μ + γ + φ 与自身对易，即 {Θ, Θ} = 0，以编码拟李双胚公理。
• 构造同调双重 (𝔈, D)，其中 D = {Θ, ·}，为函数代数上的微分生成同调向量场。
• 利用 Kosmann-Schwarzbach 的导出括号构造，从同调双重中恢复 A ⊕ A* 上的 Courant 双胚结构。
• 通过哈密顿向量场 X_ω 或 X_π 的流对 ω ∈ Γ(∧²A*) 或 π ∈ Γ(∧²A) 进行扭变，得到新的拟李双胚结构。
• 将保持分次且在基流形 M 上平凡作用的规范群 𝒢 分解，从而实现规范对称性的李理论解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过辛超流形上的同调方法系统地构造拟李双胚？
• RQ2 与拟李双胚对应的精确代数结构（如拟-格伦斯坦哈伯代数）是什么？
• RQ3 规范变换如何作用于扭 Poisson 结构？其代数与几何解释为何？
• RQ4 同调向量场 D 的上同调与收敛于其的谱序列之间有何关系？
• RQ5 在扭变下微分与括号结构如何变形？其对应的拟微分格伦斯坦哈伯代数由何种方程控制？

主要发现

• 当且仅当三元组 (A, A*, φ) 构成拟李双胚时，总哈密顿函数 Θ = μ + γ + φ 自对易，从而推广了李双胚。
• 同调双重 (𝔈, D) 满足 D = {Θ, ·}，通过导出括号构造在 A ⊕ A* 上诱导出 Courant 双胚结构。
• 与同调双重 (𝔈, D) 关联的谱序列收敛于 D 的上同调，提供了上同调理论的过滤结构。
• 通过2-形式 ω 的规范变换保持拟李双胚结构，并满足 Θ_{φ−dω, τ_{−ω}π} = Φ*Θ_{φ,π}，表明对应代数同构。
• 对于扭 Poisson 流形 (M, π, φ)，多向量场上的形变微分是 d_{γ_π} = [π, ·] + ½[π, π, ·]，括号 [·,·]_{μ_π} 满足带 φ 控制的同伦意义下的广义雅可比恒等式。
• 3-形式 φ 的上同调类在规范变换下保持不变，且局部上每个 φ-扭 Poisson 结构都规范等价于一个普通 Poisson 结构。