[论文解读] Quasi-local energy with respect to a static spacetime

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了一种相对于一般静态参考时空的新型准局部能量定义，基于从爱因斯坦-希尔伯特作用量导出的表面哈密顿量。证明了将时空等距嵌入参考静态时空的恒等映射是临界点且为局部能量最小化，从而提供了一种规范不变的度量，用于衡量与参考几何的偏离程度，尤其适用于微扰引力中的黑洞时空。

ABSTRACT

This article considers the quasi-local energy in reference to a general static spacetime. We follow the approach developed by the authors in [19, 20, 7, 9] and define the quasi-local energy as a difference of surface Hamiltonians, which are derived from the Einstein-Hilbert action. The new quasi-local energy provides an effective gauge independent measurement of how far a spacetime deviates away from the reference static spacetime on a finitely extended region.

研究动机与目标

• 为相对于一般静态参考时空的有限时空区域定义一种规范不变的准局部能量。
• 将先前基于闵可夫斯基或德西特/反德西特参考时空的准局部能量框架，扩展至任意静态时空。
• 为物理时空偏离静态背景的程度提供一种定量度量，尤其适用于黑洞时空等微扰情形。
• 建立能量泛函的几何与变分性质，包括恒等嵌入的临界性与局部最小性。

提出的方法

• 从爱因斯坦-希尔伯特作用量推导表面哈密顿量，采用具有度量 $\check{g} = -V^2 dt^2 + g_{ij} dx^i dx^j$ 的参考静态时空。
• 将准局部能量定义为物理时空与参考静态时空之间表面哈密顿量的差值。
• 应用零能条件及静态势 $V$ 的性质，以确保几何一致性与物理合理性。
• 通过将曲面 $\Sigma$ 等距嵌入参考时空，计算能量泛函的变分。
• 应用一阶变分公式（定理 2.8）以表征最优嵌入并推导临界点的条件。
• 采用二阶变分分析，在稳定性和零能条件假设下，证明恒等嵌入的局部能量最小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为相对于一般静态参考时空的时空构造出一个明确定义且规范不变的准局部能量？
• RQ2 将曲面恒等等距嵌入静态时空是否为准局部能量泛函的临界点？
• RQ3 在何种几何条件下，恒等嵌入是局部能量最小化的？
• RQ4 准局部能量在时空几何微扰下如何表现，特别是在黑洞解附近？
• RQ5 静态势 $V$ 与零能条件在能量泛函的稳定性和正性中起何种作用？

主要发现

• 恒等等距嵌入曲面至参考静态时空是准局部能量泛函的临界点，如定理 2.6 所证明。
• 对于恒等嵌入，准局部能量的一阶变分为零，确认其临界性，如定理 2.8 所推导。
• 当参考时空满足零能条件且曲面为稳定常平均曲率（CMC）曲面且 $\nu(V) \geq 0$ 时，能量的二阶变分非负，如定理 4.4 所示。
• 在相同条件下，恒等嵌入是局部能量最小化的，确立其作为临界构型的稳定性。
• 能量泛函仅依赖于曲面的几何与静态势 $V$，不依赖于任意规范选择。
• 对于球对称静态时空，若对称球面为稳定 CMC 曲面且 $\nu(V) \geq 0$，即使不具备无穷小刚性，其仍为局部能量最小化。