[论文解读] Quasi-metric spaces with measure

Aleksandar Stojmirović|ArXiv.org|Nov 6, 2003

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 19被引用 22

一句话总结

该论文将测度集中现象从度量测度空间（mm-空间）推广至带有概率测度的拟度量空间（pq-空间），证明高维pq-空间在行为上几乎等同于mm-空间。它表明常见的生物序列相似性度量可转化为拟度量，并利用非对称汉明立方体和基于惩罚的方法，建立类似于经典勒维族的指数集中界。

ABSTRACT

The phenomenon of concentration of measure on high dimensional structures is usually stated in terms of a metric space with a Borel measure, also called an mm-space. We extend some of the mm-space concepts to the setting of a quasi-metric space with probability measure (pq-space). Our motivation comes from biological sequence comparison: we show that many common similarity measures on biological sequences can be converted to quasi-metrics. We show that a high dimensional pq-space is very close to being an mm-space.

研究动机与目标

• 将测度集中概念从mm-空间推广至带概率测度的拟度量空间（pq-空间）。
• 证明高维pq-空间在集中行为方面在结构上与mm-空间接近。
• 表明常见的生物序列相似性度量（如Smith-Waterman）可重新表述为拟度量。
• 利用非对称度量和惩罚函数，推导pq-空间的指数集中界。
• 证明pq-空间在自然条件下继承关键的集中性质，如勒维族行为。

提出的方法

• 定义带概率测度的拟度量空间（pq-空间），推广mm-空间框架。
• 利用拟度量及其共轭，引入左、右及关联的度量球与邻域。
• 通过在二元字母表上定义非对称基拟度量，构造非对称汉明立方体。
• 应用塔拉格兰的惩罚方法，利用乘积空间上的ℓ₁型拟度量，推导pq-空间的集中界。
• 利用关联度量，将pq-空间的集中性与经典mm-空间结果联系起来。
• 证明pq-空间的集中函数满足类似于勒维族的指数界。

实验结果

研究问题

• RQ1 测度集中能否有意义地从度量测度空间推广至带测度的拟度量空间？
• RQ2 生物序列相似性度量（如Smith-Waterman得分）与拟度量结构有何关系？
• RQ3 高维pq-空间在集中行为方面在多大程度上类似于mm-空间？
• RQ4 pq-空间中左、右集中函数可推导出何种指数界？
• RQ5 塔拉格兰工作中基于惩罚的方法能否被改编以推导pq-空间中的集中不等式？

主要发现

• 非对称汉明立方体序列构成一个正规勒维族，集中函数有界于 $ \exp(-2\varepsilon^2 n) $，与经典汉明立方体界一致。
• pq-空间 $ (\Sigma^n, q_n, \mu_n) $ 的集中函数满足 $ \alpha_{(\Sigma^n, q_n, \mu_n)}(\varepsilon) \leq 2\exp\left(-\frac{n\varepsilon^2}{2}\right) $，表明强集中性。
• 对于具有拟度量 $ q(x,y) = \sum_{i\leq N} q_\Omega(x_i, y_i) $ 的乘积pq-空间，集中函数有界于 $ \alpha(\varepsilon) \leq 2\exp\left(-\min\left(\frac{\varepsilon^2}{8N\|q_\Omega\|_2^2}, \frac{\varepsilon}{2\|q_\Omega\|_\infty}\right)\right) $。
• pq-空间中左、右集中函数由于所涉范数的对称性，继承对称界。
• pq-空间的关联度量 $ \hat{q} $ 确保pq-空间在拓扑上接近度量空间，从而可传递集中结果。
• 生物序列相似性度量（包括Smith-Waterman得分）可转化为广义加权拟度量，使其适用于pq-空间框架。