[论文解读] Quasi-Polynomial Local Search for Restricted Max-Min Fair Allocation

Lukáš Poláček, Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|May 7, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出了一种受限最大最小公平分配问题的准多项式时间局部搜索算法，通过修改Asadpour等人提出的局部搜索方法并提供一种新颖的运行时间分析，实现了$1/(4+\epsilon)$-近似保证。该算法为组合算法，避免了显式求解配置线性规划（LP），同时利用其结构进行分析，将先前的指数时间复杂度显著改进为$n^{O(\log n)}$。主要贡献在于提出了一种近似最优性能保证的多项式时间近似方案，解决了该设定下局部搜索效率这一开放问题。

ABSTRACT

The restricted max-min fair allocation problem (also known as the restricted Santa Claus problem) is one of few problems that enjoys the intriguing status of having a better estimation algorithm than approximation algorithm. Indeed, Asadpour et al. proved that a certain configuration LP can be used to estimate the optimal value within a factor ${1}/{(4+ε)}$, for any $ε>0$, but at the same time it is not known how to efficiently find a solution with a comparable performance guarantee. A natural question that arises from their work is if the difference between these guarantees is inherent or because of a lack of suitable techniques. We address this problem by giving a quasi-polynomial approximation algorithm with the mentioned performance guarantee. More specifically, we modify the local search of Asadpour et al. and provide a novel analysis that lets us significantly improve the bound on its running time: from $2^{O(n)}$ to $n^{O(\log n)}$. Our techniques also have the interesting property that although we use the rather complex configuration LP in the analysis, we never actually solve it and therefore the resulting algorithm is purely combinatorial.

研究动机与目标

• 弥合受限最大最小公平分配问题中最佳已知估计与近似保证之间的差距。
• 确定Asadpour等人局部搜索的指数时间复杂度是否本质存在，或仅因分析不足所致。
• 设计一种局部搜索算法，在不求解配置LP的前提下，实现$1/(4+\epsilon)$-近似，且时间复杂度为准多项式时间。
• 提供一种具有强性能保证的组合算法，避免对LP解的依赖。

提出的方法

• 修改Asadpour等人局部搜索过程，以改进运行时间分析，同时保持$1/(4+\epsilon)$-近似保证。
• 引入一种基于交替树和阻塞边的新颖分析技术，以限制迭代次数。
• 利用交替树结构导出的对偶解，证明对偶LP无界，从而与可行性矛盾，确立近似界。
• 基于交替树中玩家和资源层级定义签名向量，以追踪进展并限制搜索空间。
• 通过基于距离的对偶变量分配方式，构造对偶可行解$(y^*, z^*)$。
• 利用受限情形的结构特性（如边大小有界、阻塞集最小等），推导出蕴含对偶无界的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否修改Asadpour等人局部搜索算法，使其在保持$1/(4+\epsilon)$-近似保证的前提下，运行时间缩短为准多项式时间？
• RQ2 原始局部搜索的指数时间复杂度是否本质存在，还是可通过更精细的分析加以改进？
• RQ3 能否设计一种纯粹组合的局部搜索算法，在不求解配置LP的前提下实现$1/(4+\epsilon)$-近似？
• RQ4 配置LP的整数规划间隙为$1/4$是否意味着组合局部搜索可在准多项式时间内实现该近似？

主要发现

• 所提出的局部搜索算法对受限最大最小公平分配问题实现了$1/(4+\epsilon)$-近似。
• 运行时间从$2^{O(n)}$改进为$n^{O(\log n)}$，确立了准多项式时间复杂度。
• 该算法为组合算法，虽在分析中使用了配置LP，但无需显式求解。
• 通过对交替树结构构造对偶解，证明对偶LP无界，从而产生矛盾，确认了近似保证。
• 分析依赖于利用涉及肥沃和瘦弱资源的不等式限制交替树大小，特别是$|B^{t}_{2D+2}| \leq \frac{\alpha-4}{3}\sum_{i=1}^{D}|B^{t}_{2i}|$，由此导出矛盾。
• 该结果支持如下猜想：对任意固定的$\epsilon>0$，存在一种多项式时间组合局部搜索算法，可实现$1/(4+\epsilon)$-近似。