[论文解读] Quasi-projectivity of the moduli space of smooth Kahler-Einstein Fano manifolds

Chi Li, Xiaowei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 15

一句话总结

该论文通过在模空间的恰当紧化上构造CM线丛上的一个典范连续Hermitian度量，证明了光滑Kähler-Einstein Fano流形模空间的拟射影性。该度量的曲率是一个正的(1,1)-当前沿，扩展了Weil-Petersson度量，从而证明CM线丛在紧化空间上是nef且big，在光滑部分上是ample，最终证实了Tian关于模空间拟射影性的猜想。

ABSTRACT

In this note, we prove that there is a canonical continuous Hermitian metric on the CM line bundle over the proper moduli space $\bar{\mathcal{M}}$ of smoothable Kahler-Einstein Fano varieties. The curvature of this metric is the Weil-Petersson current, which exists as a positive (1,1)-current on $\bar{\mathcal{M}}$ and extends the canonical Weil-Petersson current on the moduli space parametrizing smooth Kahler-Einstein Fano manifolds $\mathcal{M}$. As a consequence, we show that the CM line bundle is nef and big on $\bar{\mathcal{M}}$ and its restriction on $\mathcal{M}$ is ample.

研究动机与目标

• 解决关于光滑Kähler-Einstein Fano流形模空间拟射影性的Tian猜想。
• 在模空间的恰当紧化$̅{\mathcal{M}}$上构造CM线丛上的典范连续Hermitian度量。
• 证明该度量的曲率是一个正的(1,1)-当前沿，扩展了光滑部分$̅{\mathcal{M}}^\circ$上的Weil-Petersson当前沿。
• 建立CM线丛在$̅{\mathcal{M}}$上是nef且big，在${\mathcal{M}}$上是ample。
• 通过奇异度量与Deligne配对，提供一种微分几何方法来研究模空间的紧化。

提出的方法

• 在Kähler-Einstein Fano簇族的相对canonical丛的Deligne配对上构造典范连续Hermitian度量$h_{\rm DP}$。
• 使用部分$C^0$-估计来控制度量的退化，并确保体积形式的统一可积性。
• 应用复空间上plurisubharmonic函数的理论来处理模空间紧化中的奇点。
• 将Weil-Petersson当前沿$\omega_{\rm WP}$定义为$h_{\rm DP}$的曲率，其扩展了光滑部分上的光滑Weil-Petersson度量。
• 证明曲率当前沿$\omega_{\rm WP}$在整条紧化模空间$\overline{{\mathcal{M}}}$上是正的(1,1)且连续的。
• 通过等变解析化与toric坐标，将CM线丛$\lambda_{\rm CM}$下降为$\overline{{\mathcal{M}}}$上的线丛$\Lambda_{\rm CM}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑Kähler-Einstein Fano流形模空间是否允许存在一个具有正曲率的典范Hermitian度量？
• RQ2 光滑部分上的Weil-Petersson当前沿能否作为正的(1,1)-当前沿扩展到整个紧化模空间？
• RQ3 紧化模空间$\overline{{\mathcal{M}}}$上的CM线丛是否为nef且big？
• RQ4 CM线丛在光滑部分${\mathcal{M}}$上的限制是否为ample？
• RQ5 此类度量的存在是否意味着${\mathcal{M}}$的拟射影性？

主要发现

• CM线丛$\lambda_{\rm CM}$下降为紧化模空间$\overline{{\mathcal{M}}}$上的线丛$\Lambda_{\rm CM}$。
• 在$\Lambda_{\rm CM}$上存在一个典范连续Hermitian度量$h_{\rm DP}$，其曲率为$\overline{{\mathcal{M}}}$上的正的(1,1)-当前沿$\omega_{\rm WP}$。
• 曲率当前沿$\omega_{\rm WP}$扩展了来自光滑部分${\mathcal{M}}^\prime \subset {\mathcal{M}}$的典范Weil-Petersson当前沿$\omega_{\rm WP}^\circ$。
• CM线丛$\Lambda_{\rm CM}$在$\overline{{\mathcal{M}}}$上是nef且big，且其在${\mathcal{M}}$上的限制是ample。
• 光滑Kähler-Einstein Fano流形模空间${\mathcal{M}}$是拟射影的。
• 当参数$t \to 0$时，退化纤维上的体积形式的积分一致收敛于零，确认了在奇异情形下度量的可积性。