[论文解读] Quasi-radial nodal solutions for the Lane-Emden problem in the ball

Francesca Gladiali, Isabella Ianni|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文在 ℝ² 中的单位球内建立了非径向、拟径向变号解的存在性，其节点集由不接触边界且互不相交的有限条简单闭曲线构成。通过从最小能量径向变号解出发的非径向分岔以及大 p 下的渐近分析，证明了此类解的存在性并表现出对称性破缺现象：某些对称解随 p 的变化而变为非径向。

ABSTRACT

We consider the semilinear elliptic problem \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }B\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial B \end{array} ight. ag{$\mathcal E_p$} \end{equation} where $B$ is the unit ball of $\mathbb R^2$ centered at the origin and $p\in (1,+\infty)$. We prove the existence of non-radial sign-changing solutions to \eqref{problemAbstract} which are \emph{quasi-radial}, namely solutions whose nodal line is the union of a finite number of disjoint simple closed curves, which are the boundary of nested domains contained in $B$. In particular the nodal line of these solutions doesn't touch $\partial B$. \\ The result is obtained with two different approaches: via nonradial bifurcation from the least energy sign-changing radial solution $u_p$ of \eqref{problemAbstract} at certain values of $p$ and by investigating the qualitative properties, for $p$ large, of the least energy nodal solutions in spaces of functions invariant by the action of the dihedral group generated by the reflection with respect to the $x$-axis and the rotation about the origin of angle $\frac{2π}{k}$ for suitable integers $k$.\\ We also prove that for certain integers $k$ the least energy nodal solutions in these spaces of symmetric functions are instead radial, showing in particular a breaking of symmetry phenomenon in dependence on the exponent $p$.

研究动机与目标

• 建立单位球内 Lane-Emden 问题非径向变号解的存在性，其解为拟径向，即节点线为不接触边界且嵌套的简单闭曲线。
• 研究在二面体对称性约束下，最小能量变号解的对称性破缺现象，特别是对称解是否随指数 p 的变化而保持径向或变为非径向。
• 比较径向变号解与全局最小能量变号解的 Morse 指数与能量水平，表明径向解并非能量最小化解。
• 通过爆破技术分析解在 p → ∞ 时的渐近行为，并研究其收敛于 Laplace 算子特征函数的性质。

提出的方法

• 从最小能量径向变号解 u_p 在特定 p 值处出发，利用非径向分岔理论构造非径向拟径向解。
• 通过缩放并利用解在 C(𝐵̄) 中收敛于第二径向特征函数 φ₂,rad 的倍数的事实，分析归一化解在 p → ∞ 时的极限行为。
• 使用恒等式 e^x - 1 = x ∫₀¹ e^{sx} ds 将非线性项 |u|^{p-1}u 展开为路径积分形式，从而实现对解轮廓的渐近分析。
• 在对称子空间 H₀¹,ₖ(B)（即在旋转 2π/k 及关于 x 轴反射下不变的函数空间）中应用变分方法，研究对称变号解 u_p^k。
• 通过弱形式中的积分与极限操作导出矛盾，证明极限函数不可能同时是 φ₂,rad 的倍数并满足推导出的积分恒等式，除非 C=0，与归一化矛盾。
• 利用最小能量变号解 𝔀_p 具有 Foliated Schwarz 对称性且其节点集接触边界，与本文构造的拟径向解节点线严格位于内部形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在单位球内 Lane-Emden 问题的非径向变号解，其节点集由有限条不接触边界的互不相交简单闭曲线构成？
• RQ2 从径向最小能量变号解 u_p 出发的非径向分岔是否能在某些 p 值下产生拟径向解？
• RQ3 当 p 变化时，H₀¹,ₖ(B) 中最小能量变号解的对称性是否发生破缺，使得对某些 k 和 p，u_p^k 变为非径向？
• RQ4 径向变号解的 Morse 指数与全局最小能量变号解相比如何？这又对能量最小化性意味着什么？
• RQ5 当 p → ∞ 时，对称子空间中最小能量变号解的渐近行为如何？它们是否收敛于 Laplace 算子的特征函数？

主要发现

• 在单位球内，Lane-Emden 问题存在非径向拟径向变号解，其节点集由有限条不接触 ∂B 且严格位于 B 内部的互不相交简单闭曲线构成。
• 最小能量变号解 𝔀_p 不是径向的，由 Morse 指数 m(𝔀_p) = 2 小于径向解 u_p 的 m(u_p) ≥ 4 得证。
• 当 p 很大时，对称空间 H₀¹,ₖ(B) 中的最小能量变号解在 C(𝐵̄) 中收敛于第二径向特征函数 φ₂,rad 的倍数，该收敛性被用于在假设 u_p^k 为径向时导出矛盾。
• 对称性破缺发生：对某些整数 k 和 p，H₀¹,ₖ(B) 中的最小能量变号解是非径向的，尽管它在二面体群作用下不变。
• 全局最小能量变号解 𝔀_p 的节点集接触边界 ∂B，与本文构造的拟径向解的内部节点线形成鲜明对比。
• 当 p 接近 1 时，H₀¹,₂(B) 中的最小能量解不是拟径向的，因为它收敛于与退化特征值 λ₄ = λ₅ 相关的特征函数，而该特征函数非拟径向。