[论文解读] Quasitoric manifolds over a product of simplices

Suyoung Choi, Mikiya Masuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文研究了在单纯形乘积上的拟 toric流形与小覆盖，表明尽管所有此类多面体上的小覆盖都等价于广义 Bott 流形，但拟 toric 流形等价于广义 Bott 流形当且仅当其具有在环面作用下不变的几乎复结构。此外，若一个拟 toric 流形的有理上同调环与复射影空间的乘积同构，则其与广义 Bott 流形同胚。

ABSTRACT

A quasitoric manifold (resp. a small cover) is a $2n$-dimensional (resp. an $n$-dimensional) smooth closed manifold with an effective locally standard action of $(S^1)^n$ (resp. $(\mathbb Z_2)^n$) whose orbit space is combinatorially an $n$-dimensional simple convex polytope $P$. In this paper we study them when $P$ is a product of simplices. A generalized Bott tower over $\F$, where $\F=\C$ or $\R$, is a sequence of projective bundles of the Whitney sum of $\F$-line bundles starting with a point. Each stage of the tower over $\F$, which we call a generalized Bott manifold, provides an example of quasitoric manifolds (when $\F=\C$) and small covers (when $\F=\R$) over a product of simplices. It turns out that every small cover over a product of simplices is equivalent (in the sense of Davis and Januszkiewicz \cite{DJ}) to a generalized Bott manifold. But this is not the case for quasitoric manifolds and we show that a quasitoric manifold over a product of simplices is equivalent to a generalized Bott manifold if and only if it admits an almost complex structure left invariant under the action. Finally, we show that a quasitoric manifold $M$ over a product of simplices is homeomorphic to a generalized Bott manifold if $M$ has the same cohomology ring as a product of complex projective spaces with $\Q$ coefficients.

研究动机与目标

• 通过矩阵表示对单纯形乘积上的拟 toric 流形与小覆盖进行分类。
• 确定此类流形在何种条件下等价于广义 Bott 流形。
• 建立上同调等价性蕴含拓扑等价性（同胚）的条件。

提出的方法

• 通过编码环面作用的向量矩阵表示单纯形乘积上的拟 toric 流形与小覆盖。
• 利用上同调环结构，通过生成元与关系定义‘在 ℚ 上的上同调乘积’。
• 对乘积多面体中单纯形的数量使用数学归纳法，分析面子流形。
• 在上同调假设下，使用分块上三角矩阵分解简化向量矩阵。
• 利用上同调生成元之间的逆矩阵关系，分析向量矩阵的结构。
• 应用引理 7.4 排除矩阵的非单位根形式，从而得出单位根上三角形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单纯形乘积上的拟 toric 流形在何种条件下等价于广义 Bott 流形？
• RQ2 在单纯形乘积上，拟 toric 流形的上同调环与其拓扑类型之间存在何种关系？
• RQ3 所有在单纯形乘积上的小覆盖是否都等价于广义 Bott 流形？
• RQ4 在何种条件下，有理上同调等价性蕴含与广义 Bott 流形的同胚？
• RQ5 在上同调假设下，拟 toric 流形的向量矩阵能否被转化为单位根上三角形式？

主要发现

• 所有在单纯形乘积上的小覆盖都等价于广义 Bott 流形。
• 在单纯形乘积上的拟 toric 流形等价于广义 Bott 流形当且仅当其具有在环面作用下不变的几乎复结构。
• 若一个拟 toric 流形的有理上同调环与复射影空间的乘积同构，则其与广义 Bott 流形同胚。
• 在 ℚ 上的上同调乘积条件下，拟 toric 流形的向量矩阵与单位根上三角矩阵共轭。
• 在 ℚ 上为上同调乘积的拟 toric 流形的面子流形也是在 ℚ 上的上同调乘积。
• 上同调生成元的矩阵为分块上三角矩阵，其可逆性保证了对角块非零，从而支持归纳约化。