[论文解读] Topological classification of generalized Bott towers

Suyoung Choi, Mikiya Masuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文证明了广义Bott层——通过复线丛的Whitney和在点上迭代取射影化构造的流形——当且仅当其整系数上同调环同构于此类乘积的上同调环时，微分同胚于复射影空间的乘积。关键结果证明了广义Bott层的上同调刚性：同构的上同调环蕴含微分同胚，支持了关于toric流形的更广泛上同调刚性问题。

ABSTRACT

If $B$ is a toric manifold and $E$ is a Whitney sum of complex line bundles over $B$, then the projectivization $P(E)$ of $E$ is again a toric manifold. Starting with $B$ as a point and repeating this construction, we obtain a sequence of complex projective bundles which we call a generalized Bott tower. We prove that if the top manifold in the tower has the same cohomology ring as a product of complex projective spaces, then every fibration in the tower is trivial so that the top manifold is diffeomorphic to the product of complex projective spaces. This gives a supporting evidence to what we call cohomological rigidity problem for toric manifolds "Are toric manifolds diffeomorphic (or homeomorphic) if their cohomology rings are isomorphic?" We provide two more results which support the cohomological rigidity problem.

研究动机与目标

• 研究具有同构上同调环的toric流形是否微分同胚，以解决toric流形的上同调刚性问题。
• 确定广义Bott层的上同调环结构是否强制其纤维丛为平凡，从而蕴含微分同胚于复射影空间的乘积。
• 通过证明2阶和3阶Bott流形的情形，为上同调刚性猜想提供支持性证据。
• 分析特征类（尤其是Pontrjagin类与Stiefel-Whitney类）在上同调同构下区分微分同胚类型的程度。
• 建立上同调环同构保持特征类（如Stiefel-Whitney类）的条件，从而实现微分同胚类型的分类。

提出的方法

• 通过在点上对复线丛的Whitney和进行迭代射影化构造广义Bott层。
• 利用广义Bott层的上同调环作为阿贝尔群同构于复射影空间乘积的上同调环，但未必作为分次环同构。
• 证明若广义Bott层的上同调环作为分次环同构于复射影空间乘积的上同调环，则该层中所有纤维丛均为平凡。
• 应用一个关键引理：若一个复线丛的Whitney和在复射影空间乘积上具有平凡的总陈类，则该丛为平凡。
• 使用Pontrjagin类与Stiefel-Whitney类来区分微分同胚类型，尤其在3阶Bott流形中。
• 采用总平方运算与Wu类，证明在特定生成条件下，具有Z/2系数的上同调环之间的环同构保持Stiefel-Whitney类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义Bott层微分同胚于复射影空间的乘积？
• RQ2 对于广义Bott层，上同调环（作为分次环）的同构是否蕴含微分同胚？
• RQ3 能否在2阶和3阶Bott流形的情形下肯定toric流形的上同调刚性问题？
• RQ4 Pontrjagin类与Stiefel-Whitney类等特征类在多大程度上决定toric流形的微分同胚类型？
• RQ5 在何种条件下，上同调环之间的环同构保持Stiefel-Whitney类等特征类？

主要发现

• 若广义Bott层 $B_m$ 的上同调环作为分次环同构于 $\textstyle\bigtimes_{i=1}^m \bbC P^{n_i}$，则该层中所有纤维丛均为平凡，且 $B_m$ 微分同胚于 $\textstyle\bigtimes_{i=1}^m \bbC P^{n_i}$。
• 对于2阶广义Bott流形，微分同胚类型完全由上同调环决定：它们微分同胚当且仅当其上同调环同构。
• 对于3阶Bott流形，结论同样成立：微分同胚等价于上同调环同构。
• 在复射影空间乘积上，复线丛Whitney和的总陈类为平凡，当且仅当该丛为平凡，此结果具有独立兴趣。
• 当上同调环由单一次数的元素生成时，任意环同构均保持Stiefel-Whitney类，这有助于分类微分同胚类型。
• 当 $H^*(B_3; \bbQ)$ 不同构于 $H^*((\bbC P^1)^3; \bbQ)$ 时，Pontrjagin类 $p_1$ 在上同调环同构下保持不变，当 $p_1$ 匹配时可确保微分同胚。