[论文解读] QUATERNIONIC GRASSMANNIANS AND PONTRYAGIN CLASSES IN ALGEBRAIC GEOMETRY

Ivan Panin, Charles Walter|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 20

一句话总结

本文在辛定向上同调理论中建立了辛丛的Borel类理论，使四元数Grassmannian的上同调得以计算。证明了在这些理论中，四元数复射影空间 $\mathbb{HP}^n$ 的上同调同构于 $A(\text{pt})[p]/(p^{n+1})$，并通过 $\mathbb{G}_a$-商构造了类似胞状的分解，揭示了代数几何中与拓扑四元数空间的深刻类比。

ABSTRACT

Abstract. The quaternionic Grassmannian HGr(r,n) is the affine open subscheme of the ordinary Grassmannian parametrizing those 2r-dimensional subspaces of a 2n-dimensional symplectic vector space on which the symplectic form is nondegenerate. In particular there is HP n = HGr(1,n+1). For a symplectically oriented cohomology theory A, including oriented theories but also hermitian K-theory, Witt groups and algebraic symplectic cobordism, we have A(HP n) = A(pt)[p]/(p n+1). We define Pontryagin classes for symplectic bundles. They satisfy the splitting principle and the Cartan sum formula, and we use them to calculate the cohomology of quaternionic Grassmannians. In a symplectically oriented theory the Thom classes of rank 2 symplectic bundles determine Thom and Pontryagin classes for all symplectic bundles, and the symplectic Thom classes can be recovered from the Pontryagin classes. The cell structure of the HGr(r,n) exists in the cohomology, but it is difficult to see more than part of it geometrically. The exception is HP n where the cell of codimension 2i is a quasi-affine quotient of A 4n−2i+1 by a nonlinear action of Ga. 1.

研究动机与目标

• 将拓扑中的Borel类与陈类理论推广到代数几何，使用辛定向上同调理论。
• 在代数几何中研究四元数Grassmannian $\operatorname{HGr}(r,n)$ 的上同调，特别是 $\mathbb{HP}^n = \operatorname{HGr}(1,n+1)$。
• 在 motivic 理论中建立代数K-理论与cobordism中拓扑四元数复射影丛定理的代数类比。
• 通过 $\mathbb{G}_a$-商与 Białynicki-Birula 分解分析 $\operatorname{HGr}(r,n)$ 的胞状结构。

提出的方法

• 在辛定向上同调理论中引入满足分裂原理与Cartan和公式之辛丛的Borel类。
• 利用 $\operatorname{HGr}(r,n)$ 上的通用辛丛定义Borel类，并通过辛定向的普遍性质将其与陈类联系起来。
• 将Białynicki-Birula分解应用于 $\mathbb{HP}^n$ 的开分量 $X_0 \subset \mathbb{HP}^n$，将其实现为 $\mathbb{A}^{4n-2i+1}$ 关于 $\mathbb{G}_a$-作用的商，其中余维数为 $2i$。
• 通过将 $\operatorname{HGr}(F)$ 嵌入 $\operatorname{Gr}(2r,2n)$ 并分析 $\operatorname{HGr}(E)$ 上的向量丛补集，为四元数Grassmannian构造了上同调的长正合列。
• 利用强同伦不变性与上同调中的切除性，证明包含映射 $A(k) \to A(\mathbb{A}^{2n})$ 是同构，从而推出 $t^A$ 是同构。
• 通过法丛结构与向量丛的同构关系，证明 $X_0$ 是仿射空间的 $\mathbb{G}_a$-商，且每个分量的闭包是低维四元数Grassmannian上秩为 $2i$ 的向量丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数几何中定义辛丛的Borel类，使其满足分裂原理与Cartan和公式？
• RQ2 在辛定向上同调理论中，四元数Grassmannian $\operatorname{HGr}(r,n)$ 的上同调结构是怎样的？
• RQ3 能否在代数几何时几何地实现 $\mathbb{HP}^n$ 的胞状分解？若能，是通过何种群作用或商构造？
• RQ4 在辛定向理论中，辛丛的陈类与Borel类之间有何关系？
• RQ5 在将 $\mathbb{HP}^n$ 的开分量实现为仿射空间商的过程中，$\mathbb{G}_a$-作用起什么作用？

主要发现

• 在任意辛定向理论 $A$ 中，$\mathbb{HP}^n$ 的上同调同构于 $A(\text{pt})[p]/(p^{n+1})$，推广了拓扑中的射影丛定理。
• 开分量 $X_0 \subset \mathbb{HP}^n$ 同构于 $\mathbb{A}^{4n+1}$ 关于 $\mathbb{G}_a$-作用的商，且每个分量 $X_{2i}$ 是 $\mathbb{A}^{4n-2i+1}$ 关于非线性 $\mathbb{G}_a$-作用的拟仿射商。
• $\overline{X}_{2i}$ 是 $\mathbb{HP}^{n-i}$ 上秩为 $2i$ 的向量丛，提供了胞状结构的几何实现。
• 通过分析开分量的补集（其为 $\operatorname{HGr}(E)$ 上的向量丛），为 $\operatorname{HGr}(F)$ 构造了上同调的长正合列，从而导出局部化论证。
• $A(k) \to A(\mathbb{A}^{2n})$ 的包含映射是同构，这是由于同伦不变性与切除性，从而推出转移映射 $t^A$ 是同构。
• 在Białynicki-Birula分解中，不动点集的法丛分解为 $N = N_1 \oplus L$，其中 $N_1$ 是丛映射的图像，且 $Z_0$ 同构于 $N_1$，即 $L$ 的零截面上的子丛。