[论文解读] Quaternionic Kähler and hyperKähler manifolds with torsion and twistor spaces

Stefan Ivanov, Ivan Minchev|ArXiv.org|Dec 15, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过其扭量空间，建立了具有挠率的四元数凯勒流形（QKT）与具有挠率的超凯勒流形（HKT）之间的几何对应关系。证明了当且仅当其扭量空间携带具有完全反对称Nijenhuis张量的几乎殆复结构时，QKT流形的Swann丛才具有具有特殊对称性的HKT结构，从而将(4,0)超对称sigma模型中的量子场论几何与Wess-Zumino项联系起来。

ABSTRACT

The target space of a (4,0) supersymmetric two-dimensional sigma model with Wess-Zumino term has a connection with totally skew-symmetric torsion and holonomy contained in Sp(n)Sp(1) (resp. Sp(n)), QKT (resp. HKT)-spaces. We study the geometry of QKT, HKT manifold and their twistor spaces. We show that the Swann bundle of a QKT manifold admits a HKT structure with special symmetry if and only if the twistor space of the QKT manifold admits an almost hermitian structure with totally skew-symmetric Nijenhuis tensor, thus connecting two structures arising from quantum field theories and supersymmetric sigma models with Wess-Zumino term.

研究动机与目标

• 通过扭量空间建立QKT与HKT流形之间的几何对应关系。
• 阐明挠率在(4,0)超对称sigma模型及其目标空间几何中的作用。
• 研究QKT流形的Swann丛在何种条件下继承具有特殊对称性的HKT结构。
• 分析QKT与HKT流形的扭量空间，表征其几乎殆复结构。
• 通过Holonomy与挠率将量子场论几何与微分几何结构联系起来。

提出的方法

• 本文研究QKT与HKT流形作为具有Wess-Zumino项的(4,0)超对称二维sigma模型的目标空间，这些模型允许具有完全反对称挠率的度量联络。
• 利用扭量构造将QKT流形的几何与其扭量空间的几何联系起来，重点研究具有完全反对称Nijenhuis张量的几乎殆复结构。
• 对QKT流形应用Swann丛构造，以分析其是否继承具有特殊对称性的HKT结构。
• 作者利用Bismut与Chern联络推导扭量空间上的曲率与Ricci张量公式，比较其(2,0)+(0,2)分量。
• 在HKT流形上利用Lee形式与挠率1-形式相等关系θ = t，分析Ricci张量及其对称性。
• 分析中还使用了Chern联络的(1,1)型曲率以及Bismut联络的曲率为零的性质，以推导dθ与d(Jαθ)的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 QKT流形的Swann丛在何种条件下具有具有特殊对称性的HKT结构？
• RQ2 QKT流形的扭量空间在何种条件下携带具有完全反对称Nijenhuis张量的几乎殆复结构？
• RQ3 QKT与HKT流形的几何性质如何通过其扭量空间相互关联？
• RQ4 Lee形式与挠率1-形式在表征HKT流形上Ricci张量对称性方面起什么作用？
• RQ5 在维度为4n且n > 1的HKT流形的扭量空间上，曲率与Ricci张量的公式是什么？

主要发现

• QKT流形的Swann丛具有具有特殊对称性的HKT结构，当且仅当其扭量空间具有具有完全反对称Nijenhuis张量的几乎殆复结构。
• 在HKT流形上，Lee形式θ等于挠率1-形式t，且dθ关于每个Jα均为(1,1)型。
• HKT流形扭量空间上的*-Ricci张量是对称的，且关于Ii（i=1,2）不变。
• 若HKT流形为*-爱因斯坦且具有正数量曲率，则其扭量空间具有c² = 4/Scal_Q的*-爱因斯坦几乎殆复结构。
• 在紧致的4n维HKT流形上，当n > 1时，有∫(Scal^g - Scal^g_Q) dV ≥ 0，等号成立当且仅当结构为平衡的。
• 在平衡的HKT流形上，当n ≥ 2时，Ricci张量关于Jα不变且对称，这意味着挠率3-形式是共闭的（δT = 0）。”