[论文解读] Quaternions and Attitude Representation

Hardik Parwana, Mangal Kothari|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2017

Inertial Sensor and Navigation参考文献 4被引用 15

一句话总结

本文对航空航天工程中的姿态表示方法进行了全面比较，重点探讨了四元数作为无奇点的欧拉角和旋转矩阵的替代方法。文章详细阐述了四元数的数学公式、其与旋转矩阵和欧拉角的关系，并展示了其在避免万向节锁定问题方面以及实现高效旋转插值和变换组合方面的优势。

ABSTRACT

The attitude space has been parameterized in various ways for practical purposes. Different representations gain preferences over others based on their intuitive understanding, ease of implementation, formulaic simplicity, and physical as well as mathematical complications involved in using them. This technical note gives a brief overview and discusses the quaternions, which are fourth dimensional extended complex numbers and used to represent orientation. Their relationship to other modes of attitude representation such as Euler angles and Axis-Angle representation is also explored and conversion from one representation to another is explained. The conventions, intuitive understanding and formulas most frequently used and indispensable to any quaternion application are stated and wherever possible, derived.

研究动机与目标

• 分析并比较各种姿态表示方法（包括旋转矩阵、欧拉角、四元数和轴/角参数化）的优势与局限性。
• 识别并解释欧拉角中出现的数学奇点问题，即万向节锁定，特别是在俯仰角为90°时的情况。
• 确立四元数作为刚体动力学中表示三维旋转的鲁棒、计算高效且无奇点的替代方法。
• 推导标准旋转序列（如321）下四元数与欧拉角之间的显式转换公式，以支持航空航天和机器人应用中的实际实现。

提出的方法

• 以SO(3)（3×3正交矩阵且行列式为+1的特殊正交群）的基本表示为基础，使用旋转矩阵。
• 通过321旋转序列推导角速度与欧拉角速率导数之间的数学关系，利用奇异的雅可比矩阵在θ = 90°处揭示奇点。
• 引入四元数作为四参数表示 q = q₀ + q₁i + q₂j + q₃k，且满足 ||q|| = 1，以实现无奇点的旋转参数化。
• 使用公式 R = [q₀² + q₁² - q₂² - q₃², ...] 从四元数推导旋转矩阵，将四元数映射到SO(3)。
• 通过四元数乘法建立旋转的复合关系，局部旋转通过右乘复合：q = qϕ ∘ qθ ∘ qψ。
• 提供使用半角三角恒等式从欧拉角到四元数的显式转换公式，例如 q₀ = cos(ϕ/2)cos(θ/2)cos(ψ/2) - sin(ϕ/2)sin(θ/2)sin(ψ/2)。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉角为何会出现万向节锁定？导致该奇点的数学条件是什么？
• RQ2 四元数如何在保持最小参数化的同时消除欧拉角表示中固有的奇点问题？
• RQ3 对于标准321旋转序列，四元数、旋转矩阵与欧拉角之间的精确数学关系是什么？
• RQ4 如何利用四元数乘法高效组合多个旋转，避免欧拉角参数化中出现的不连续性？
• RQ5 在动态姿态控制系统中，使用四元数相较于旋转矩阵或欧拉角在计算和数值方面有何优势？

主要发现

• 欧拉角在俯仰角为90°时出现奇点，此时旋转矩阵的雅可比矩阵奇异，导致逆变换无定义，原因在于正切和正割项趋于无穷。
• 四元数通过提供SO(3)的双重覆盖表示避免了该奇点，其中 q 和 -q 表示同一旋转，从而确保所有姿态下参数化的连续性。
• 当四元数分量由欧拉角的半角正弦和余弦计算时，从四元数导出的旋转矩阵与标准321欧拉旋转矩阵一致。
• 可通过反三角函数（如 θ = sin⁻¹(2(q₀q₂ + q₁q₃))）实现从四元数到欧拉角的转换，但需妥善处理象限歧义问题。
• 基于四元数的旋转复合在数值上稳定且高效，可实现无间断的平滑插值和变换链式组合。
• 本文证实，由于避免了旋转复合中的昂贵三角函数运算，四元数在计算效率上优于欧拉角；同时在参数数量和约束处理方面也优于旋转矩阵。