[论文解读] Quillen adjunctions induce adjunctions of quasicategories

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 38

一句话总结

本文证明了，任意两个模型范畴之间的 Quillen 伴随（无需函子性因子分解或完全双完备性）都会诱导其底层 quasi-category 之间的典范伴随。关键洞见在于：即使 cofibrant 和 fibrant 重写函子并非函子性，也通过相对范畴的同伦理论与非拉直构造，利用 cofibrant 和 fibrant 重写函子构造了单位与余单位变换。

ABSTRACT

We prove that a Quillen adjunction of model categories (of which we do not require functorial factorizations and of which we only require finite bicompleteness) induces a canonical adjunction of underlying quasicategories.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：Quillen 伴随在模型范畴之间如何与∞-范畴理论中的伴随相关联。
• 建立 Quillen 伴随在不假设函子性因子分解或完全双完备性的情况下，会诱导出其 quasi-category 之间的伴随。
• 仅利用 cofibrant 与 fibrant 重写结构，提供在 quasi-category 层次上诱导伴随的典范构造。
• 统一内部同伦理论（通过模型范畴）与外部同伦理论（通过 quasi-category），确认 quasi-category 是更高范畴结构的自然框架。

提出的方法

• 使用非拉直构造将相对范畴与 quasi-category 关联，实现伴随数据的转移。
• 通过 cofibrant 重写函子的包含映射与右导出函子的复合构造单位变换，利用底层 quasi-category 上函子之间的自然变换。
• 对偶地，通过 fibrant 重写与左导出函子构造余单位变换，无需函子性 fibrant 重写。
• 依赖于：即使在无函子性重写的情况下，cofibrant 对象的包含映射在底层 quasi-category 上仍诱导等价。
• 应用 Dwyer–Kan 的结果：hammock 局域化与双 fibrant 对象的全子范畴在 Bergner 模型结构中弱等价。
• 利用 Lurie 的结果：simplified Quillen 伴随会诱导出 quasi-category 之间的伴随，并通过重写技术将其推广至一般 Quillen 伴随。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设函子性因子分解的前提下，一般 Quillen 伴随在模型范畴之间是否能诱导出 quasi-category 之间的伴随？
• RQ2 当 cofibrant/fibrant 重写函子非函子性时，如何在 quasi-category 设置下构造诱导伴随的单位与余单位？
• RQ3 Quillen 伴随在∞-范畴语境下，能多大程度地编码更高范畴数据（如相干伴随）？
• RQ4 是否存在一种典范方式，仅利用模型范畴的同伦结构，从 Quillen 伴随中提取出 quasi-category 之间的伴随？
• RQ5 能否使诱导伴随的构造独立于辅助选择（如 cofibrant 重写函子）？

主要发现

• 即使在无函子性因子分解的情况下，模型范畴之间的 Quillen 伴随仍会诱导其底层 quasi-category 之间的典范伴随。
• 单位变换通过 cofibrant 对象包含映射与右导出函子的复合构造，其等价性基于 cofibrant 对象的 quasi-category 与全 quasi-category 之间的等价。
• 余单位变换通过对偶方式利用 fibrant 重写与左导出函子构造，无需函子性 fibrant 重写。
• 该构造独立于 cofibrant 或 fibrant 重写函子的选择，仅依赖于同伦结构与自然变换。
• 该结果推广了关于 simplicial Quillen 伴随的先前结果，并通过重写定理将其扩展至任意 Quillen 伴随。
• 证明表明，底层 quasi-category 构造保持伴随关系，确认 quasi-category 是编码模型范畴中更高范畴伴随的正确框架。