[论文解读] Quiver varieties and elliptic quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文通过预投射代数的椭锥上同调霍尔代数构造，将一个层化椭锥量子群定义为椭圆曲线的着色希尔伯特概形上凝聚层的张量范畴中的代数对象。该群作用于纳卡吉玛 quiver 变换的等变椭锥上同调，并实现满足动力椭锥量子群交换关系的德林费尔德电流，从而解决了几何表示论中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We define a sheafified elliptic quantum group for any symmetric Kac-Moody Lie algebra. This definition is naturally obtained from the elliptic cohomological Hall algebra of a preprojective algebra. The sheafified elliptic quantum group is an algebra object in a certain monoidal category of coherent sheaves on the colored Hilbert scheme of an elliptic curve. We show that the elliptic quantum group acts on the equivariant elliptic cohomology of Nakajima quiver varieties. This action is compatible with the action induced by Hecke correspondence, a construction similar to that of Nakajima. The elliptic Drinfeld currents are obtained as generating series of certain rational sections of the sheafified elliptic quantum group. We show that the Drinfeld currents satisfy the commutation relations of the dynamical elliptic quantum group studied by Felder and Gautam-Toledano Laredo.

研究动机与目标

• 为对称卡克-莫迪李代数构造一个内在的、几何动机的椭锥量子群，其电流具有良好收敛性。
• 解决在 quiver 变换的等变椭锥上同调上构造椭锥量子群的德林费尔德实现这一长期悬而未决的问题。
• 通过椭圆曲线上层化结构，提供椭锥量子群最高权表示的几何构造。
• 建立新构造与椭圆设定下赫克对应构造之间的兼容性。

提出的方法

• 将层化椭锥量子群定义为椭圆曲线的着色希尔伯特概形上凝聚层的张量范畴中的代数对象。
• 利用预投射上同调霍尔代数作为基础结构，将有理/三角函数构造推广至椭圆情形。
• 将德林费尔德电流定义为层化量子群的有理截面的生成函数，对经典椭锥电流进行形变。
• 通过留数计算与 theta 函数恒等式，证明德林费尔德电流满足动力椭锥量子群交换关系。
• 利用稳定包络技术，建立层化椭锥量子群在纳卡吉玛 quiver 变换的等变椭锥上同调上的作用。
• 证明上升与下降算符满足德林费尔德双代数关系，从而诱导出完整量子群的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个几何的、内在的椭锥量子群定义，使其包含收敛良好的德林费尔施电流？
• RQ2 预投射代数的椭锥上同调霍尔代数是否自然地在椭圆曲线的着色希尔伯特概形上诱导出一个层化量子群结构？
• RQ3 椭锥量子群是否在纳卡吉玛 quiver 变换的等变椭锥上同调上存在几何作用，且与赫克对应兼容？
• RQ4 此构造中的德林费尔施电流是否满足 Felder 与 Gautam-Toledano Laredo 定义的动力椭锥 R-矩阵交换关系？
• RQ5 能否从预投射代数表示模空间的几何中重构量子群的作用？

主要发现

• 层化椭锥量子群被定义为椭圆曲线的着色希尔伯特概形上凝聚层的张量范畴中的代数对象。
• 层化椭锥量子群的亚纯截面空间构成一个结合代数，为椭锥量子群提供了新的实现。
• 德林费尔施电流被显式构造为有理截面的生成函数，并满足动力椭锥量子群交换关系。
• 层化椭锥量子群在纳卡吉玛 quiver 变换的等变椭锥上同调上的作用被几何实现，且与赫克对应兼容。
• 上升与下降算符满足德林费尔施双代数关系，其交换子通过 theta 函数与留数表达。
• 德林费尔施电流之间的交换关系被显式计算为 $ \vartheta(\hbar)[\mathfrak{X}^{+}(u,\lambda_{1}),\mathfrak{X}^{-}(v,\lambda_{2})] = \frac{\vartheta(u-v+\lambda_{1})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{1})}\Phi(v) + \frac{\vartheta(u-v-\lambda_{2})}{\vartheta(u-v)\vartheta(\lambda_{2})}\Phi(u) $，与 [GTL17] 中的关系一致。