[论文解读] Rademacher complexity of noisy quantum circuits

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文分析了噪声对量子线路的Rademacher复杂度的影响，重点关注混合酉噪声模型（如去极化和相位翻转通道）。推导出一个依赖于无噪声线路复杂度和线路自由鲁棒性的噪声线路Rademacher复杂度下界，表明噪声普遍降低Rademacher复杂度，从而限制了含噪NISQ设备中量子机器学习模型的泛化能力。

ABSTRACT

Noise in quantum systems is a major obstacle to implementing many quantum algorithms on large quantum circuits. In this work, we study the effects of noise on the Rademacher complexity of quantum circuits, which is a measure of statistical complexity that quantifies the richness of classes of functions generated by these circuits. We consider noise models that are represented by convex combinations of unitary channels and provide both upper and lower bounds for the Rademacher complexities of quantum circuits characterized by these noise models. In particular, we find a lower bound for the Rademacher complexity of noisy quantum circuits that depends on the Rademacher complexity of the corresponding noiseless quantum circuit as well as the free robustness of the circuit. Our results show that the Rademacher complexity of quantum circuits decreases with the increase in noise.

研究动机与目标

• 理解近场量子设备中的噪声如何影响量子线路的统计复杂度，特别是在量子机器学习背景下的影响。
• 弥补现有Rademacher复杂度分析中的空白，这些分析迄今仅关注无噪声量子线路。
• 通过分析噪声如何降低Rademacher复杂度，量化噪声对量子机器学习模型泛化误差界的影响。
• 在混合酉噪声模型下，为噪声量子线路的Rademacher复杂度建立理论上下界。
• 将复杂度的降低与线路的自由鲁棒性联系起来，为噪声鲁棒性提供资源理论解释。

提出的方法

• 将噪声建模为混合酉通道，即酉操作的凸组合，包括去极化和相位翻转通道。
• 使用恢复映射的概念来表征噪声通道的可逆性，并推导Rademacher复杂度的界。
• 将量子通道的自由鲁棒性作为其抗噪能力的度量，将其与Rademacher复杂度的下界联系起来。
• 利用恢复映射的向量化形式的1-范数的倒数来推导噪声线路Rademacher复杂度的下界：$\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1}$。
• 建立不同噪声水平下线路Rademacher复杂度之间的递归关系，表明复杂度随噪声增加而降低。
• 将这些界应用于具有有界资源参数的结构化量子线路，使用$\vec{\mu}_{1,\infty}$-范数来控制线路复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声被建模为混合酉通道时，它如何影响量子线路的Rademacher复杂度？
• RQ2 能否以无噪声线路的复杂度和一种抗噪性度量为参数，表达出噪声量子线路Rademacher复杂度的下界？
• RQ3 量子通道的自由鲁棒性在决定量子线路统计复杂度对噪声的鲁棒性方面起什么作用？
• RQ4 去极化和相位翻转等特定噪声模型如何定量影响量子线路的Rademacher复杂度？
• RQ5 噪声通道存在恢复映射在多大程度上能改善对应噪声线路Rademacher复杂度的下界？

主要发现

• 噪声量子线路的Rademacher复杂度被无噪声线路的复杂度普遍上界所限制，表明噪声导致统计复杂度降低。
• 推导出一个非平凡的噪声线路Rademacher复杂度下界，该下界依赖于无噪声线路的复杂度和通道的自由鲁棒性。
• 对于去极化通道，Rademacher复杂度的下界与$1 - 6\epsilon$成正比，其中$\epsilon$为噪声强度，表明噪声增加时复杂度显著下降。
• 使用恢复映射1-范数向量化推导出的界比一般界更紧，尤其在去极化通道等情形下，满足$\|\vec{v}(\mathcal{E}_R)\|_1^{-1} \geq \frac{1-4\epsilon}{1+2\epsilon}$。
• 对于相位翻转通道，基于恢复映射的界与一般界一致，表明自由鲁棒性度量在该情况下捕捉到了最坏情况的噪声影响。
• 具有有界资源参数的结构化噪声线路的Rademacher复杂度满足$\prod_{ij}\left(\frac{1-4\epsilon_{ij}}{1+2\epsilon_{ij}}\right)^{n_{ij}} R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}}) \leq R_S(\mathcal{F} \circ \mathcal{C}^{\mathcal{A},\text{noisy}}_{\vec{\mu}_{1,\infty} \leq \vec{\mu}})$，表明噪声强度和输出量子比特数的乘法性退化。