[论文解读] Rainbow connection of graphs with diameter 2

Hengzhe Li, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文為直徑為2的圖的彩虹連通數確立了緊緻的上界。研究證明，直徑為2的無橋圖的彩虹連通數至多為5，而直徑為2且有k條橋的連通圖的彩虹連通數至多為k+2，為此類NP難問題在直徑約束下提供了首個絕對上界。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph $G$, where adjacent edges may have the same color, is called a rainbow path if no two edges of the path are colored the same. The rainbow connection number $rc(G)$ of $G$ is the minimum integer $i$ for which there exists an $i$-edge-coloring of $G$ such that every two distinct vertices of $G$ are connected by a rainbow path. It is known that for a graph $G$ with diameter 2, to determine $rc(G)$ is NP-hard. So, it is interesting to know the best upper bound of $rc(G)$ for such a graph $G$. In this paper, we show that $rc(G)\leq 5$ if $G$ is a bridgeless graph with diameter 2, and that $rc(G)\leq k+2$ if $G$ is a connected graph of diameter 2 with $k$ bridges, where $k\geq 1$.

研究动机与目标

• 確定直徑為2的圖的彩虹連通數的最佳可能上界，此類圖的rc(G)計算為NP難。
• 分析橋的存在如何影響直徑為2圖的彩虹連通數。
• 建立緊緻的上界，並在某些極端情況下證明其必然為最佳。
• 利用直徑與連通性約束，擴展對特殊圖類（如強正則圖）彩虹連通性的既有結果。

提出的方法

• 基於存在一個偏心距為1的中心頂點v的結構圖分析，利用直徑-2性質將頂點分為N₁(v)與N₂(v)。
• 根據橋的數量進行情況分析，證明存在單一割點v，且G−v的所有連通分量皆透過v連接。
• 對與v、X、Y、A及D₁子集相關的邊採用4種或5種著色方案，確保所有頂點對皆由彩虹路徑連接。
• 利用生成樹與鄰域的二分法，確保路徑的連通性與色彩多樣性。
• 運用反證法證明某些配置（例如D₁與D₂均非空）會違反直徑2的性質。
• 運用強正則圖及其連通性方面的已知結果，推導出彩虹連通數的推論。

实验结果

研究问题

• RQ1 無橋直徑為2圖的彩虹連通數最大可能為何？
• RQ2 直徑為2圖中橋的數量如何影響其彩虹連通數？
• RQ3 能否獨立於圖的大小，對直徑為2圖的彩虹連通數進行有界？
• RQ4 無橋直徑為2圖的rc(G) ≤ 5是否為緊緻界？
• RQ5 在何種條件下，μ=1且λ=0的強正則圖必為無橋圖，因而滿足rc(G) ≤ 5？

主要发现

• 對於任意無橋圖G且直徑為2，其彩虹連通數滿足rc(G) ≤ 5。
• 對於任意直徑為2且有k ≥ 1條橋的連通圖G，其彩虹連通數滿足rc(G) ≤ k + 2。
• 無橋直徑為2圖的rc(G) ≤ 5界是緊緻的，因為存在達到此界之圖，故無法再改善。
• μ ≥ 1且非星形的強正則圖滿足rc(G) ≤ 5，因其或為2-連通或無橋。
• 完全二分圖K_{2,n}（n ≥ 10）的直徑為2且彩虹連通數為4，顯示5並非總是達成，但仍是上界。
• 本文證明，μ=1且λ=0的強正則圖必為無橋圖，此結果透過定理8支持rc(G) ≤ 5的界。