[论文解读] Ramsey properties of randomly perturbed dense graphs

Emil Powierski|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用 11

一句话总结

该论文为随机扰动稠密图中的Ramsey性质建立了渐近最优的阈值，表明当添加一个随机图 $ G(n,p) $ 到任意 $ \gamma $-稠密图时，若 $ p $ 超过一个依赖于 $ r $ 的阈值，则几乎必然在任意2-边染色下出现单色 $ K_r $。对于奇数 $ r \geq 5 $，结果是紧的；对于偶数 $ r \geq 4 $，结果几乎紧，使用了非对称Ramsey理论和依赖随机选择方法。

ABSTRACT

We investigate Ramsey properties of a random graph model in which random edges are added to a given dense graph. Specifically, we determine lower and upper bounds on the function $p=p(n)$ that ensures that for any dense graph $G_n$ a.a.s. every 2-colouring of the edges of $G_n\cup G(n,p)$ admits a monochromatic copy of the complete graph $K_r$. These bounds are asymptotically sharp for the cases when $r\geq 5$ is odd and almost sharp when $r\geq 4$ is even. Our proofs utilise recent results on the threshold for asymmetric Ramsey properties in $G(n,p)$ and the method of dependent random choice.

研究动机与目标

• 确定阈值函数 $ p(n) $，使得将 $ G(n,p) $ 添加到任意 $ \gamma $-稠密图 $ G_n $ 几乎必然确保在任意2-边染色下出现单色 $ K_r $。
• 通过在稠密基图背景下分析非对称Ramsey性质，拓展先前关于随机扰动图的Ramsey结果。
• 为 $ r \geq 4 $ 建立阈值 $ p(n) $ 的紧或近乎紧的界，特别关注 $ r $ 的奇偶性。
• 利用非对称Ramsey阈值的最新进展与依赖随机选择方法，推导扰动图中的结构保证。

提出的方法

• 采用随机扰动稠密图模型，其中将 $ G(n,p) $ 添加到任意 $ \gamma $-稠密图 $ G_n $ 上，且 $ \gamma > 0 $ 固定。
• 应用非对称2-稠密函数 $ m_2(G,H) $ 分析 $ G(n,p) $ 中非对称Ramsey性质的阈值，特别是与 $ K_r $ 相关的结构。
• 使用依赖随机选择方法在 $ G(n,p) $ 中寻找大而高度连通的子集，从而实现单色团的构造。
• 结合Rödl与Ruciński关于对称Ramsey阈值的结果与新的非对称Ramsey阈值，推导出扰动模型的界。
• 通过三阶段边染色构造，在缺乏单色 $ K_4 $ 的情况下导出矛盾，依赖于 $ K_3 $-和 $ K_4 $-自由子图的结构约束。
• 应用极值图论界定密度 $ \rho(H) \geq 2 $ 的子图中的边数，确保当 $ p $ 低于阈值时，此类子图在 $ G(n,p) $ 中几乎必然不出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ \gamma $-稠密基图 $ G_n $，使得 $ G_n \cup G(n,p) $ 几乎必然在任意2-边染色下包含单色 $ K_r $ 的阈值 $ p(n) $ 是什么？
• RQ2 随机扰动稠密图中Ramsey性质的阈值与仅在 $ G(n,p) $ 中的阈值相比如何，特别是当 $ r \geq 4 $ 时？
• RQ3 能否使 $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ 的阈值对奇数 $ r \geq 5 $ 渐近最优？
• RQ4 为防止扰动图中出现单色 $ K_4 $，$ G(n,p) $ 的哪些结构性质（如不存在稠密子图）是必要的？
• RQ5 在 $ K_3 $ 与 $ K_4 $-自由子图的背景下，$ G(n,p) $ 中的非对称Ramsey阈值如何影响扰动模型的阈值？

主要发现

• 对于奇数 $ r \geq 5 $，$ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_r) $ 的阈值 $ p(n) $ 是渐近最优的，上下界完全匹配。
• 对于偶数 $ r \geq 4 $，$ p(n) $ 的界几乎最优，仅在指数部分相差一个常数因子。
• 对于 $ G_n \cup G(n,p) \rightarrow (K_3) $，阈值为 $ p(n) = n^{-1} $，这是紧的，且与已知结果一致。
• 当 $ p = o(n^{-2/(t-1)}) $ 时，存在一个 $ \gamma $-稠密图 $ G_n $，使得 $ G_n \cup G(n,p) \nrightarrow (K_3, K_t) $ 几乎必然成立，表明对 $ t \geq 3 $ 该阈值是紧的。
• 当 $ p $ 低于阈值时，$ G(n,p) $ 几乎必然不包含满足 $ \rho(H) \geq 2 $ 且 $ |V(H)| \leq 8 $ 的子图 $ H $，这是证明中的关键结构性要素。
• 构建了一个三阶段染色论证以避免出现单色 $ K_4 $，依赖于 $ K_3 $-自由与 $ K_4 $-自由子图及边集 $ E_s $，并通过边数不等式导出矛盾。