[论文解读] Random conformal dynamical systems

Bertrand Deroin, Victor Kleptsyn|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Jun 10, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文为随机共形动力系统建立了二分法：要么存在一个在伪群所有变换下不变的概率测度，要么几乎必然地，长时间的随机复合会以指数速度收缩。作者在指数收缩条件下证明了轨道的唯一遍历性与等分布性，通过随机分析和叶状覆盖上的调和测度，将对称情形下的结果推广至一般随机共形系统。

ABSTRACT

We consider random dynamical systems such as groups of conformal transformations with a probability measure, or transversaly conformal foliations with a Laplace operator along the leaves, in which case we consider the holonomy pseudo-group. We prove that either there exists a measure invariant under all the elements of the group (or the pseudo-group), or almost surely a long composition of maps contracts exponentially a ball. We deduce some results about the unique ergodicity.

研究动机与目标

• 建立作用于流形上的随机共形动力系统的二分法，将已知的对称情形结果推广至非对称情形。
• 研究在横截共形叶状结构中的共形映射或单值化伪群的随机复合下不变测度的存在性。
• 在指数收缩条件下证明随机轨道的等分布性，即使在非对称系统中亦成立。
• 将叶状覆盖上的调和测度与布朗运动理论推广至高余维及非紧情形。
• 通过证明在指数收缩下调和测度必为非原子测度，解决调和测度是否可含原子的问题。

提出的方法

• 利用叶状覆盖的维纳测度与布朗运动来建模单值化映射的随机复合。
• 应用热核与扩散半群 $D^t$ 分析随机动力系统下测度的演化。
• 推导关键积分公式 (5.21)，通过热核比值将条件测度 $\nu_x$ 与布朗运动的转移密度联系起来。
• 将时间离散化为 $t = k\delta$，并构造一个马氏停时 $\tau$，使得单值化映射在此处表现出指数收缩。
• 利用引理 2.4 中的界限估计热核比值的乘积，以证明测度传输的统一下界。
• 利用上调和性并与 $D^t_*\mu$ 比较，证明若调和测度含原子则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机共形动力系统会存在完全不变的概率测度？
• RQ2 当不存在不变测度时，共形映射的随机复合的渐近行为如何？
• RQ3 在指数收缩条件下，能否为非对称随机共形系统建立唯一遍历性？
• RQ4 在横截共形叶状结构中，随机单值化下的调和测度行为如何，特别是其原子性问题？
• RQ5 布朗运动与热核理论在具有边界的高余维叶状结构中可被推广到何种程度？

主要发现

• 存在二分法：要么存在一个在伪群所有元素下不变的概率测度，要么几乎所有随机复合均以指数速度收缩某个邻域。
• 在指数收缩区域，任意点在随机复合下的轨道相对于单一不变测度唯一地等分布。
• 叶状空间上的调和测度 $\mu$ 不可能含原子，这是通过热核乘积的下界估计，反证法得出的结论。
• 对于充分大的 $T$，停时 $\tau < 2T$ 且具有指数收缩的概率接近于 1，从而确保估计的有效性。
• 估计式 (5.23) 表明，对小的 $I$，有 $\nu_x(I) \geq W_{x_0}(N) \cdot c_1 \cdot c_0 > 0$，这与 $\nu_x$ 的原子性矛盾。
• 通过在紧化空间 $\overline{M}$ 上工作，结果可推广至高余维叶状结构，其中上调和性与边界行为得以控制。