[论文解读] Random-Facet and Random-Bland require subexponential time even for shortest paths

Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文证明，即使在最短路径问题这一特殊情形下，Random-Facet 和 Random-Bland 单纯形算法变体仍需要亚指数时间，从而挑战了这些算法在结构化线性规划中可能是多项式时间的猜想。该结论通过在特定多面体结构上对枢轴规则的组合分析得以确立。

ABSTRACT

The Random-Facet algorithm of Kalai and of Matousek, Sharir and Welzl is an elegant randomized algorithm for solving linear programs and more general LP-type problems. Its expected subexponential time of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$, where $m$ is the number of inequalities, makes it the fastest known combinatorial algorithm for solving linear programs. We previously showed that Random-Facet performs an expected number of $2^{ ildeΩ(\sqrt[3]{m})}$ pivoting steps on some LPs with $m$ inequalities that correspond to $m$-action Markov Decision Processes (MDPs). We also showed that Random-Facet-1P, a one permutation variant of Random-Facet, performs an expected number of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$ pivoting steps on these examples. Here we show that the same results can be obtained using LPs that correspond to instances of the classical shortest paths problem. This shows that the stochasticity of the MDPs, which is essential for obtaining lower bounds for Random-Edge, is not needed in order to obtain lower bounds for Random-Facet. We also show that our new $2^{ ildeΩ(\sqrt{m})}$ lower bound applies to Random-Bland, a randomized variant of the classical anti-cycling rule suggested by Bland.

研究动机与目标

• 研究 Random-Facet 和 Random-Bland 单纯形算法在最短路径问题上的最坏情况时间复杂度。
• 确定这些随机枢轴规则在结构化线性规划中是否实现多项式时间性能。
• 分析这些算法在最短路径问题形式化所生成的多面体上的行为。
• 为这些算法所需的单纯形枢轴的期望数量提供紧致下界。

提出的方法

• 本文分析了 Random-Facet 和 Random-Bland 算法在最短路径多面体上的表现。
• 采用基于随机选择面的递归枢轴规则，并在基更新时执行枢轴操作。
• 算法维护一个基 B，并在随机选择索引 i 后，递归探索剩余面 F\{i} 的面。
• 仅当能够实现改进时才执行枢轴操作，否则继续使用未改进的基。
• 分析依赖于多面体的组合性质以及对随机选择下枢轴数量的期望值。
• 证明构造了一类最短路径实例，其期望枢轴数为亚指数级。

实验结果

研究问题

• RQ1 Random-Facet 和 Random-Bland 单纯形算法在最短路径问题上是否运行于多项式时间？
• RQ2 这些算法在最短路径多面体上所需的期望枢轴数是多少？
• RQ3 能否为结构化线性规划中的随机单纯形方法建立亚指数下界？
• RQ4 最短路径实例中是否存在一种组合结构，导致这些算法产生长的枢轴序列？

主要发现

• Random-Facet 和 Random-Bland 算法即使在最短路径问题上，仍需要亚指数期望时间。
• 期望枢轴数的下界由输入规模的亚指数函数所界定。
• 该结果否定了这些算法在最短路径线性规划中为多项式时间的可能性。
• 分析表明，尽管最短路径多面体具有特定组合结构，但在随机选择规则下仍可能导致长的枢轴序列。
• 即使最短路径问题本身可通过其他方法在多项式时间内求解，该下界依然成立。