[论文解读] Random index of codivisibility

José Fernández, Pablo Fernández|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了大随机 r 元组整数的互除指数的渐近正态性，表明当 r 增大时，共享一个公共素因子的元组中整数的最大数量收敛于正态分布。关键结果是利用概率数论和二项尾部的集中不等式，对收敛速度给出了定量界。

ABSTRACT

The index of codivisibility of a set of integers is the size of its largest subset with a common prime divisor. For large random samples of integers, the index of codivisibility is approximately normal.

研究动机与目标

• 分析随机 r 元组整数中互除指数的概率行为，其定义为共享一个公共素因子的元素的最大数量。
• 建立当元组大小 r 趋于无穷时，该指数的渐近正态性。
• 通过二项尾部概率的界，量化收敛到正态性的速率。
• 通过互除指数，将已知的互质和两两互质结果推广到更广泛的互质条件类别。
• 提供一个统一框架，通过独立的素数层级事件，理解随机整数元组中可除性模式。

提出的方法

• 定义互除指数 $ I_r(a_1, \ldots, a_r) = \text{max}_p \big( \text{number of } a_j \text{ divisible by } p \big) $，用于衡量共享一个公共素因子的元素的最大数量。
• 将随机整数的 $ W_r $（互除指数）的极限分布建模为 $ F_r(t) = \textstyle\prod_p \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/p) \leq t) $，反映素数独立可除性。
• 应用霍夫丁不等式，对二项变量 $ \textsc{bin}(r, 1/p) $ 的尾部概率进行界，尤其针对小 $ p $ 和大 $ r $ 的情况。
• 对 $ 1/p $ 较小的情况（特别是大素数）使用本内特不等式，获得更紧的罕见事件界。
• 将素数乘积分为 $ p \geq 64 $ 和 $ 3 \leq p < 64 $ 两部分，对每个部分应用不同的界。
• 结合尾部估计，证明 $ \big| \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/2) \leq t) - \mathbf{P}(W_r \leq t) \big| \leq A e^{-Br} $，表明收敛到正态性的指数速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着 r 增大，互除指数（定义为随机 r 元组中共享一个公共素因子的元素最大数量）的渐近行为如何？
• RQ2 当 r 足够大时，互除指数的分布是否渐近正态？如果是，收敛速率是多少？
• RQ3 建模素数 p 可除性的二项变量 $ \textsc{bin}(r, 1/p) $ 的尾部概率，如何贡献于互除指数的整体分布？
• RQ4 能否通过显式的指数界，量化互除指数收敛到正态性的过程？
• RQ5 该结果是否可推广到均匀整数以外的其他分布，例如 zeta 分布？

主要发现

• 当 $ r \to \infty $ 时，随机 r 元组整数的互除指数 $ W_r $ 在分布上收敛于正态分布，其均值为 $ r/2 $，方差为 $ r/4 $，与二项分布 $ \textsc{bin}(r, 1/2) $ 一致。
• 收敛速度为指数级：对所有 $ t \in \mathbb{R} $，$ \textsc{bin}(r, 1/2) $ 的累积分布函数与 $ W_r $ 之间的差异被界为 $ A e^{-Br} $，其中 $ A, B > 0 $ 为绝对常数。
• 当 $ t \leq 3r/8 $ 时，差异被界为 $ e^{-r/32} $，该界通过在二项尾部应用霍夫丁不等式得出。
• 当 $ t > 3r/8 $ 时，该界依赖于将素数乘积拆分，并对 $ p \geq 64 $ 使用本内特不等式，得出 $ \prod_{p \geq 64} \mathbf{P}(\textsc{bin}(r, 1/p) \leq 3r/8) \geq 1 - 2^{1 - 3r/16} $。
• 对于中间素数 $ 3 \leq p < 64 $，乘积被下界为 $ 1 - 17e^{-r/300} $，使用霍夫丁不等式并令 $ q = 1/p \leq 1/3 $。
• 该结果可推广至 zeta 分布：在 $ \mathbf{Q}_s $ 下，归一化的互除指数 $ \frac{U_r - r/2^s}{\sqrt{(1 - 1/2^s) r / 2^s}} $ 在 $ r \to \infty $ 时依分布收敛于 $ \mathcal{N}(0,1) $。