[论文解读] Random Orderings and Unique Ergodicity of Automorphism Groups

Omer Angel, Alexander S. Kechris+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于有限图、$K_n$-自由图、$r$-一致超图以及距离取值于$\mathbb{R}^+$的加法子半群中的度量空间，唯一一致的随机排序是均匀随机排序。该结果表明随机图的自同构群具有唯一遍历性，并提供了首个非紧致、非极端可均的唯一遍历群例子，超越了Glasner和Weiss的例子。

ABSTRACT

We show that the only random orderings of finite graphs that are invariant under isomorphism and induced subgraph are the uniform random orderings. We show how this implies the unique ergodicity of the automorphism group of the random graph. We give similar theorems for other structures, including, for example, metric spaces. These give the first examples of uniquely ergodic groups, other than compact groups and extremely amenable groups, after Glasner and Weiss's example of the group of all permutations of the integers. We also contrast these results to those for certain special classes of graphs and metric spaces in which such random orderings can be found that are not uniform.

研究动机与目标

• 确定有限结构（如图、超图和度量空间）上的一致随机排序是否必须为均匀排序。
• 研究此类随机排序对自同构群唯一遍历性的影响。
• 识别出超越紧致或极端可均群之外的新一类波兰群，使其具有唯一遍历性。
• 探索在受限图类或度量空间（如有界度图或欧氏度量空间）中是否存在非均匀的一致随机排序。
• 为有限结构上非均匀与均匀排序之间的总变差距离建立定量界限。

提出的方法

• 将一致随机排序定义为有限结构$G$的顶点集上线性排序上的概率测度族$\mu_G$，满足同构不变性与限制一致性。
• 使用模型论与组合技术（包括拉姆齐性质与扩张性质）分析此类排序的结构。
• 应用Fraïssé极限与普遍极小流理论，将一致随机排序与动力系统上的不变测度联系起来。
• 采用随机投影法（由Leonard Schulman提出）在有界度图和欧氏度量空间等类中构造非均匀的一致随机排序。
• 使用概率论与极值组合论论证，推导出总变差界限，特别是针对$r$-一致超图。
• 利用测度$\mu(N_{{\boldsymbol{A}},<}) = \frac{1}{k({\boldsymbol{A}})}$在可接受排序空间上的均匀性，分析不变测度的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有有限图的类，均匀随机排序是否是唯一的一致随机排序？
• RQ2 在某些受限图类或度量空间（如有界度图或欧氏度量空间）中，是否存在非均匀的一致随机排序？
• RQ3 一致随机排序的存在是否意味着Fraïssé极限的自同构群具有唯一遍历性？
• RQ4 在大小至多为$n$的有限结构上，非均匀排序与均匀随机排序之间的最大总变差距离是多少？
• RQ5 对于Fraïssé结构的可均自同构群，其普遍极小流上的唯一不变测度是否总是对可接受排序均匀分布？

主要发现

• 对于所有有限图、$K_n$-自由图、$r$-一致超图以及距离取值于$\mathbb{R}^+$的固定加法子半群中的度量空间，唯一一致随机排序是均匀随机排序。
• 该结果表明随机图的自同构群具有唯一遍历性，提供了首个非紧致、非极端可均的唯一遍历波兰群例子，超越了Glasner和Weiss的例子。
• 对于大小至多为$n$的$r$-一致超图，任意一致随机排序与均匀排序之间的总变差距离以$C\sqrt{\frac{\log n}{n^{r-1}}}$为界，其中常数$C = C(k,r)$。
• 在图的情形下，构造表明存在一致随机排序，其与均匀排序的总变差距离在某些子图上至少为$C/n$。
• 通过随机投影法，可在有界度图和欧氏度量空间等类中构造出非均匀的一致随机排序。
• 对于可均自同构群的Fraïssé结构，其普遍极小流上的唯一不变测度是否对可接受排序均匀分布，目前为一个猜想，且在所有已知情形下均成立。