[论文解读] Random polymers via orthogonal Whittaker and symplectic Schur functions

Elia Bisi|Warwick Research Archive Portal (University of Warwick)|Oct 8, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 46被引用 6

一句话总结

本论文建立了KPZ universality类中可积概率模型——特别是log-gamma聚合物与最后一段通过渗透——与特殊函数之间的精确联系：对于聚合物模型为正交Whittaker函数，对于最后一段通过渗透模型为辛Schur函数。通过几何RSK对应关系，推导出配分函数的拉普拉斯变换，其表达为Whittaker函数形式；在尺度极限下，得到GOE Tracy-Widom与Airy₂→₁分布。

ABSTRACT

This thesis deals with some $(1+1)$-dimensional lattice path models from the KPZ universality class: the directed random polymer with inverse-gamma weights (known as log-gamma polymer) and its zero temperature degeneration, i.e. the last passage percolation model, with geometric or exponential waiting times. We consider three path geometries: point-to-line, point-to-half-line, and point-to-line with paths restricted to stay in a half-plane. Through exact formulas, we establish new connections between integrable probabilistic models and the ubiquitous Whittaker and Schur functions. More in detail, via the use of A. N. Kirillov's geometric Robinson-Schensted-Knuth (RSK) correspondence, we compute the Laplace transform of the polymer partition functions in the above geometries in terms of orthogonal Whittaker functions. In the case of the first two geometries we also provide multiple contour integral formulas. For the corresponding last passage percolation problems, we obtain new formulas in terms of symplectic Schur functions, both directly via RSK on polygonal arrays and via zero temperature limit from the log-gamma polymer formulas. As scaling limits of the point-to-line and point-to-half-line models with exponential waiting times, we derive Sasamoto's Fredholm determinant formula for the GOE Tracy-Widom distribution, as well as the one-point marginal distribution of the ${ m Airy}_{2 o1}$ process.

研究动机与目标

• 建立点到线、点到半线以及受限聚合物模型与正交Whittaker函数及辛Schur函数之间的精确公式。
• 利用几何RSK对应关系与Whittaker函数，推导出聚合物配分函数的拉普拉斯变换。
• 为点到线与点到半线几何结构中的配分函数，获得新的多重围线积分表示。
• 推导指数型最后一段通过渗透模型的尺度极限，从而得到GOE Tracy-Widom与Airy₂→₁过程分布。
• 统一KPZ类中的概率模型与表示论对象（如Whittaker函数与Schur函数）

提出的方法

• 利用几何RSK对应关系，将聚合物路径构型映射为Gelfand-Tsetlin图案与Whittaker函数。
• 采用$rak{gl}_n$-与$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker函数的递归积分表示，推导配分函数的拉普拉斯变换。
• 应用Whittaker函数的围线积分公式，表达点到线与点到半线几何结构中配分函数的形式。
• 对log-gamma聚合物模型施加零温极限，推导出具有辛Schur函数公式的最后一段通过渗透模型。
• 对弗雷德霍姆行列式执行最陡下降分析，以提取尺度极限下的渐近分布。
• 使用Ishii-Stade参数化与积分恒等式，通过Mellin-Barnes积分将Whittaker函数与特殊函数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 点到线与点到半线聚合物模型中配分函数的拉普拉斯变换，如何用正交Whittaker函数表示？
• RQ2 这些聚合物几何结构中配分函数的多重围线积分表示是什么？
• RQ3 辛Schur函数如何在log-gamma聚合物模型的零温极限中出现？
• RQ4 指数型最后一段通过渗透模型的哪些尺度极限会导出GOE Tracy-Widom与Airy₂→₁分布？
• RQ5 在可积概率的背景下，$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker函数与辛Schur函数之间的确切联系是什么？

主要发现

• 通过几何RSK对应关系，点到线聚合物配分函数的拉普拉斯变换由正交Whittaker函数给出。
• 利用Whittaker函数积分表示，为点到线与点到半线几何结构中的配分函数推导出多重围线积分公式。
• log-gamma聚合物模型的零温极限导出最后一段通过渗透模型，其配分函数可用辛Schur函数表达。
• 点到线指数型最后一段通过渗透模型的尺度极限恢复了GOE Tracy-Widom分布的弗雷德霍姆行列式公式。
• 点到半线指数模型的尺度极限导出了Airy₂→₁过程的一维边缘分布。
• 证明了一个涉及$rak{gl}_n$-与$rak{so}_{2n+1}$-Whittaker函数的积分恒等式，当$ s=0 $时，该恒等式退化为已知恒等式。