[论文解读] Random Tur\'an theorem for hypergraph cycles

Dhruv Mubayi, Liana Yepremyan|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文确定了随机 $r$-均匀超图 $G_{n,p}^{(r)}$ 中线性偶圈 $C_{2 heta}^{(r)}$ 的典型图兰数，对几乎所有 $p$ 的取值范围（除一个随 $ heta$ 缩小的区间外）确定了其阈值行为，仅相差多对数因子。本文提出了一种子度依赖的超饱和结果，强化了先前的界限，并实现了在广泛边概率范围内的精确估计。

ABSTRACT

Given $r$-uniform hypergraphs $G$ and $H$ the Tur\\'an number $\ m ex(G, H)$ is the maximum number of edges in an $H$-free subgraph of $G$. We study the typical value of $\ m ex(G, H)$ when $G=G_{n,p}^{(r)}$, the Erd\\H{o}s-R\\'enyi random $r$-uniform hypergraph, and $H=C_{2\\ell}^{(r)}$, the $r$-uniform linear cycle of length $2\\ell$. The case of graphs ($r=2$) is a longstanding open problem that has been investigated by many researchers. We determine $\ m ex(G_{n,p}^{(r)}, C_{2\\ell}^{(r)})$ up to polylogarithmic factors for all but a small interval of values of $p=p(n)$ whose length decreases as $\\ell$ grows. Our main technical contribution is a balanced supersaturation result for linear even cycles which improves upon previous such results by Ferber-Mckinley-Samotij and Balogh-Narayanan-Skokan. The novelty is that the supersaturation result depends on the codegree of some pairs of vertices in the underlying hypergraph. This approach could be used to prove similar results for other hypergraphs $H$.

研究动机与目标

• 确定 Erdős–Rényi 随机 $r$-均匀超图 $G_{n,p}^{(r)}$ 中图兰数 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ 的典型值。
• 将随机图兰问题的理解从二分图扩展至 $r$-均匀线性偶圈。
• 发展一种更强的超饱和定理，考虑顶点对的子度，从而改进超图圈的图兰型界限。
• 在广泛 $p$ 取值范围内，建立 $G_{n,p}^{(r)}$ 中最大 $C_{2 heta}^{(r)}$-自由子图大小的几乎必然渐近界。
• 为其他 $r$-部 $r$-图（除偶圈外）提供可推广的框架。

提出的方法

• 提出一种依赖于超图中顶点对子度的线性偶圈平衡超饱和结果。
• 利用子度依赖的超饱和结果，为 $r$-图推导出 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ 的紧致界。
• 应用容器方法与概率不等式（如切尔诺夫不等式、马尔可夫不等式）控制随机超图中少量圈的数量。
• 通过斯坦纳系统与高圈长 $3$-图的爆破构造显式 $C_{2 heta}^{(r)}$-自由子图，以建立下界。
• 利用伯特兰公设构造具有所需性质的部分斯坦纳系统，以实现稀疏且高圈长子图的构造。
• 利用集中不等式证明，高圈长 $3$-图的随机爆破中孤立边的数量集中在其期望值附近，从而支持下界构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $r$-均匀随机超图 $G_{n,p}^{(r)}$，$\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ 的典型值是什么？
• RQ2 顶点对的子度如何影响超图中线性偶圈的超饱和性？
• RQ3 能否发展一种更强的超饱和结果，以子度为条件，从而改进随机超图中图兰型界限？
• RQ4 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ 在不同 $p=n^{-\alpha}$ 范围内的阈值行为如何？
• RQ5 子度依赖的超饱和方法在多大程度上可推广至其他 $r$-部 $r$-图？

主要发现

• 本文对所有 $\theta$ 值（除一个随 $\theta$ 缩小的区间外）确定了 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)})$ 的多对数因子范围内的值。
• 证明了一种子度依赖的新型超饱和结果，优于 Ferber-McKinley-Samotij 与 Balogh-Narayanan-Skokan 的先前工作。
• 当 $p \ll n^{-1+1/(2\ell-1)}$ 时，几乎必然有 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^{(r)}, C_{2 heta}^{(r)}) = (1-o(1))e(G_{n,p}^{(r)})$。
• 当 $p \gg n^{-1+1/(2\ell-1)}$ 时，图兰数在多对数因子范围内有界于 $O(p^{1/\ell}n^{1+1/\ell})$。
• 通过高圈长 $3$-图的爆破构造，可得到一个 $C_4^{(3)}$-自由子图，其边数为 $\Omega(p^{1/4}n^{3/2})$，几乎必然成立，适用于 $p \gg n^{-2}$。
• 当 $p = n^{-2/3}$ 时，达到下界 $\Omega(n^{4/3})$，与 $3$-均匀情形的阈值一致。