[论文解读] Random walks on $\mathrm{Homeo}(S^1)$

Dominique Malicet|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文证明了，对于圆周同胚群 $\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上的随机游走，只要驱动测度 $\nu$ 没有不变概率测度，几乎必然地，小区间会被压缩。这种压缩以指数速度发生，即使在没有光滑性假设的情况下也成立，其证明依赖于连续丛上连续柯西积的 Ávila-Viana 不变量原理的改进版本。该结果推广了以往需要更强正则性或结构条件的研究。

ABSTRACT

In this paper, we study random walks $g_n=f_{n-1}\cdots f_0$ on the group $\mathrm{Homeo}(S^1)$ of the homeomorphisms of the circle, where the homeomorphisms $f_k$ are chosen randomly, independently, with respect to a same probability measure $ν$. We prove that under the only condition that there is no probability measure invariant by $ν$-almost every homeomorphism, the random walk almost surely contracts small intervals. It generalizes what has been known on this subject until now, since various conditions on $ν$ were imposed in order to get the phenomenon of contractions. Moreover, we obtain the surprising fact that the rate of contraction is exponential, even in the lack of assumptions of smoothness on the $f_k$'s. We deduce next various dynamical consequences on the random walk $(g_n)$: finiteness of ergodic stationary measures, distribution of the trajectories, asymptotic law of the evaluations, etc. The proof of the main result is based on a modification of the Ávila-Viana's invariance principle, working for continuous cocycles on a space fibred in circles.

研究动机与目标

• 理解圆周同胚随机复合的长期动力学行为。
• 确定此类随机游走表现出区间压缩的最小条件。
• 在无光滑性或额外结构假设下，建立指数压缩速率。
• 通过去除极小性与有限生成性假设，推广 Antonov 的同步性结果。
• 推导动力学后果，如平稳测度的有限性及轨迹的渐近规律。

提出的方法

• 将 Ávila-Viana 不变量原理适配于圆丛上的连续柯西积。
• 通过圆上的概率与拓扑论证分析李雅普诺夫指数结构。
• 使用扰动技术证明在生成元的小 $C^0$-扰动下，压缩性质具有鲁棒性。
• 通过反证法证明，若不存在不变测度，则区间几乎必然被压缩。
• 应用改进的不变性原理，表明随机游走的作用在小集合上趋于一致压缩。
• 通过分析平稳测度与经验测度的弱极限，建立遍历性与渐近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小条件下，$\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上的随机游走会几乎必然压缩小区间？
• RQ2 是否可以在不假设同胚属于 $C^1$ 或更高正则性的情况下，建立指数压缩速率？
• RQ3 当驱动测度 $\nu$ 不保持任何不变概率测度时，动力学行为如何变化？
• RQ4 当不存在共同不变测度时，随机游走的平稳测度的数量与性质如何受到影响？
• RQ5 Antonov 的同步性结果在多大程度上可以推广到有限、极小或对称生成集之外的情形？

主要发现

• 在无光滑性假设下，$\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上的随机游走几乎必然压缩小区间，当且仅当驱动测度 $\nu$ 不存在不变概率测度。
• 即使同胚仅为连续的，压缩速率仍为指数级，这是一个出人意料且新颖的结果。
• 遍历平稳概率测度的数量是有限的，实际上存在唯一一个在圆周去掉有限个点后的支撑上的遍历平稳测度。
• 对于任意初始点 $x_0 \in (0,1)$，经验测度 $\mu_{N,\omega}$ 的弱极限不被半群不变，意味着几乎必然具有负的李雅普诺夫指数。
• 随机游走表现出同步性：对于任意两个不同的点，其轨迹之间的距离几乎必然趋于零。
• 在生成元的小 $C^0$-扰动下，压缩性质保持鲁棒，几乎必然保持区间的压缩性。