[论文解读] Randomized adiabatic quantum linear solver algorithm with optimal complexity scaling and detailed running costs

David Jennings, Matteo Lostaglio+3 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种随机化绝热量子线性求解器，结合量子信号处理与优化的绝热演化，实现了非渐近查询复杂度 $ Q = O(\tau \widetilde{O}(\tau)) $，在早期容错实现中将成本降低了最多 9 倍。该算法实现了 $ O(\tau \log(\kappa/\epsilon)) $ 的渐近量级，常数因子更优，通过严格的查询次数与方差边界验证，使其实现可应用于量子子程序。

ABSTRACT

Solving linear systems of equations is a fundamental problem with a wide variety of applications across many fields of science, and there is increasing effort to develop quantum linear solver algorithms. [Subaşi et al., Phys. Rev. Lett. (2019)] proposed a randomized algorithm inspired by adiabatic quantum computing, based on a sequence of random Hamiltonian simulation steps, with suboptimal scaling in the condition number $κ$ of the linear system and the target error $ε$. Here we go beyond these results in several ways. Firstly, using filtering~[Lin et al., Quantum (2019)] and Poissonization techniques [Cunningham et al., arXiv:2406.03972 (2024)], the algorithm complexity is improved to the optimal scaling $O(κ\log(1/ε))$ -- an exponential improvement in $ε$, and a shaving of a $\log κ$ scaling factor in $κ$. Secondly, the algorithm is further modified to achieve constant factor improvements, which are vital as we progress towards hardware implementations on fault-tolerant devices. We introduce a cheaper randomized walk operator method replacing Hamiltonian simulation -- which also removes the need for potentially challenging classical precomputations; randomized routines are sampled over optimized random variables; circuit constructions are improved. We obtain a closed formula rigorously upper bounding the expected number of times one needs to apply a block-encoding of the linear system matrix to output a quantum state encoding the solution to the linear system. The upper bound is $837 κ$ at $ε=10^{-10}$ for Hermitian matrices.

研究动机与目标

• 开发一种具有显式非渐近查询成本边界的量子线性求解器，以适用于早期容错量子硬件。
• 通过优化绝热演化与滤波技术，降低量子线性求解器的资源开销。
• 提供一种与问题无关且与架构无关的成本模型，适用于任何将线性求解器作为子程序的量子算法。
• 分析绝热演化时间的期望查询成本与方差，确保实际部署中的鲁棒性。

提出的方法

• 该算法基于 Subaşı 等人的方法，采用改进的绝热演化协议，通过随机化演化时间以减少期望查询次数。
• 应用量子信号处理（QSP）技术，实现投影到线性系统解态的滤波操作。
• 查询复杂度由依赖于条件数 $ \kappa $、误差容限 $ \epsilon $ 与块编码缩放因子 $ \alpha $ 的闭式表达式导出，当 $ \epsilon = 10^{-10} $ 时，$ Q \approx 2305 \kappa / \sqrt{2 - \sqrt{2}} $。
• 绝热演化时间被建模为具有概率分布 $ p_j(t) $ 的随机变量，通过优化以最小化期望成本或方差。
• 利用涉及能隙 $ \Delta(s) $ 的解析表达式对查询次数的方差进行边界限定，通过积分近似方法获得更紧的边界。
• 通过方差优化的分布 $ p_j(t) \propto \left( \frac{\cos(\Delta(s_j)t/2)}{\pi^2 - \Delta^2(s_j)t^2} \right)^2 $，将标准差降低至均值的 8–12%，从而提升稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机化绝热量子线性求解器结合 QSP 滤波的精确非渐近查询复杂度是多少？
• RQ2 期望查询次数如何随 $ \kappa $、$ \epsilon $ 与 $ \alpha $ 变化？与先前算法相比有何差异？
• RQ3 能否通过优化的概率分布，对绝热演化时间的方差进行解析边界限定并加以降低？
• RQ4 对于早期量子硬件相关的条件数，该算法相较于最先进方法的实际成本优势有多大？
• RQ5 该算法在更大规模量子应用中作为与问题无关且与架构无关的子程序，其可部署程度如何？

主要发现

• 该算法在 $ \kappa = 10^3 $ 且 $ \epsilon = 10^{-10} $ 时，实现非渐近查询复杂度 $ Q \approx 6023\kappa $，相比 Costa 等人 [1] 提供的最佳数值估计，性能提升 4.8–8.8 倍。
• 对于所有 $ \kappa \leq 10^{32} $，尽管渐近量级略松，该算法仍优于 Costa 等人 [1] 提出的渐近最优 $ O(\kappa \log(1/\epsilon)) $ 算法。
• 与先前方法相比，绝热阶段的期望查询次数最多降低 9 倍，标准协议中方差被限制在均值的 11–20% 之间。
• 方差优化协议将查询次数的标准差降低至均值的 8–12%，在不显著增加成本的前提下提升了稳定性。
• 该算法保持了 $ O(\kappa \log(\kappa/\epsilon)) $ 的渐近量级，与目前已知的最佳渐近性能一致，同时显著优化了常数因子。
• 该分析具有与问题无关与与架构无关的特性，可直接用于依赖线性求解器的量子算法端到端成本建模。