[论文解读] Randomized Speedup of the Bellman-Ford Algorithm

Michael J. Bannister, David Eppstein|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种贝尔曼-福特算法的随机化变体，通过在每次遍历前对顶点进行随机排列，将松弛步骤的期望数量相比耶恩1970年的算法减少了2/3。该方法以高概率实现 $ mn/3 + o(mn) $ 次松弛，并利用高概率界限实现了高效的负环检测。

ABSTRACT

We describe a variant of the Bellman-Ford algorithm for single-source shortest paths in graphs with negative edges but no negative cycles that randomly permutes the vertices and uses this randomized order to process the vertices within each pass of the algorithm. The modification reduces the worst-case expected number of relaxation steps of the algorithm, compared to the previously-best variant by Yen (1970), by a factor of 2/3 with high probability. We also use our high probability bound to add negative cycle detection to the randomized algorithm.

研究动机与目标

• 减少在具有负边但无负环的图中贝尔曼-福特算法的最坏情况期望松弛步骤数。
• 在耶恩1970年算法（已将松弛步骤数减少一半）的基础上，通过引入随机顶点排列，实现额外的2/3速度提升。
• 提供高概率运行时间界限，以实现该算法中高效的负环检测。
• 证明随机化可在根本图算法中实现常数因子的性能提升，即使在数十年的先前优化之后。

提出的方法

• 在每次遍历开始时随机排列顶点顺序，以引导边松弛的顺序。
• 应用耶恩的两 DAG 分解方法，但在每次遍历中按随机顶点顺序处理边。
• 使用高概率集中不等式分析松弛次数的期望值，利用最短路径以高概率按路径顺序被松弛的事实。
• 维护一个前驱图 $ G_p $，通过在 $ n/3 + 1 + \sqrt{2cn\log n} $ 次迭代后检查是否存在环来检测负环。
• 每次迭代在 $ O(n) $ 时间内对 $ G_p $ 执行环检测，利用每个顶点在 $ G_p $ 中最多只有一条出边的性质。
• 利用高概率界限，将稠密图算法转化为负环检测的蒙特卡洛算法，错误概率极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机顶点排列是否能进一步减少贝尔曼-福特算法中松弛步骤的期望数量，超越现有优化？
• RQ2 该随机化变体的期望松弛步骤数是多少？与耶恩算法相比有何差异？
• RQ3 能否利用松弛次数的高概率界限实现高效的负环检测？
• RQ4 该随机化方法是否在保证高概率正确性的同时，维持或提升实际性能？

主要发现

• 随机化的贝尔曼-福特算法将期望松弛步骤数减少至 $ mn/3 + o(mn) $，相比耶恩算法提升了2/3。
• 对于稠密图，期望松弛次数最多为 $ n^3/6 + o(n^3) $，在最坏情况期望运行时间中实现了常数因子的改进。
• 以高概率，在 $ n/3 + 1 + \sqrt{2cn\log n} $ 次迭代后所有顶点均达到正确距离，正确性概率至少为 $ 1 - 1/n^{c-1} $。
• 通过在 $ n/3 + 2 + \sqrt{2cn\log n} $ 次迭代后检查前驱图 $ G_p $ 中是否存在环，可高概率检测负环。
• 该算法可转化为稠密图中负环检测的蒙特卡洛算法，错误概率被限制在 $ 1/n^{c-1} $ 以内。
• 这是自耶恩1970年工作以来，贝尔曼-福特算法首次实现常数因子的速度提升，证明了随机化在基础图算法中的强大作用。