[论文解读] Greedy Online Bipartite Matching on Random Graphs

Andrew Mastin, Patrick Jaillet|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 19被引用 10

一句话总结

该论文分析了在 Erdős–Rényi 随机图 $G(n,n,p)$ 上，贪婪在线二分图匹配算法的平均情况性能，使用微分方程建模匹配动态过程。研究证明，贪婪算法的性能比至少为 $0.837$，无意识变体的性能比为 $1-1/e$，表明在随机设置下，贪婪算法的匹配效果几乎与最优排名算法相当。

ABSTRACT

We study the average performance of online greedy matching algorithms on $G(n,n,p)$, the random bipartite graph with $n$ vertices on each side and edges occurring independently with probability $p=p(n)$. In the online model, vertices on one side of the graph are given up front while vertices on the other side arrive sequentially; when a vertex arrives its edges are revealed and it must be immediately matched or dropped. We begin by analyzing the extsc{oblivious} algorithm, which tries to match each arriving vertex to a random neighbor, even if the neighbor has already been matched. The algorithm is shown to have a performance ratio of at least $1-1/e$ for all monotonic functions $p(n)$, where the performance ratio is defined asymptotically as the ratio of the expected matching size given by the algorithm to the expected maximum matching size. Next we show that the conventional extsc{greedy} algorithm, which assigns each vertex to a random unmatched neighbor, has a performance ratio of at least 0.837 for all monotonic functions $p(n)$. Under the $G(n,n,p)$ model, the performance of extsc{greedy} is equivalent to the performance of the well known extsc{ranking} algorithm, so our results show that extsc{ranking} has a performance ratio of at least 0.837. We finally consider vertex-weighted bipartite matching. Our proofs are based on simple differential equations that describe the evolution of the matching process.

研究动机与目标

• 分析在线贪婪匹配算法在随机二分图 $G(n,n,p)$ 上的平均情况性能。
• 为所有单调的 $p(n)$ 建立贪婪算法和无意识算法性能比的紧下界。
• 证明在 $G(n,n,p)$ 模型下，贪婪算法的性能与著名的排名算法渐近等价。
• 将分析扩展到顶点加权二分图匹配，考虑加权贪婪匹配。
• 使用微分方程和 Wormald 定理，严格建模并界定匹配过程的演化。

提出的方法

• 将匹配过程建模为随机过程，其中顶点按顺序到达，边在到达时被揭示。
• 使用微分方程描述匹配的二分桶计数的期望演化，按 $n$ 归一化。
• 应用 Wormald 定理，证明当 $n \to \infty$ 时，确定性微分方程解能很好地近似随机过程。
• 推导出随时间推移，每类排名或权重类中已匹配桶的比例的常微分方程组。
• 显式求解无意识和贪婪情形下的常微分方程组，得到匹配大小的闭式表达式。
• 通过引入基于排名或基于权重的桶类，将框架扩展到顶点加权匹配，并求解相应的常微分方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于单调的 $p(n)$，无意识贪婪算法在 $G(n,n,p)$ 上的渐近性能比是多少？
• RQ2 传统贪婪算法在随机二分图中的性能与最大匹配的最优解相比如何？
• RQ3 在 $G(n,n,p)$ 模型下，贪婪算法的性能是否与排名算法等价？
• RQ4 在顶点加权二分图匹配设置下，贪婪匹配的性能比是多少？
• RQ5 贪婪算法的性能比如何随 $p(n)$ 变化，特别是在 $p(n) \sim 1/n$ 附近？

主要发现

• 无意识算法对所有单调的 $p(n)$ 都实现了至少 $1 - 1/e$ 的性能比，与排名算法的最坏情况保证一致。
• 传统贪婪算法对所有单调的 $p(n)$ 都实现了至少 $0.837$ 的性能比，显著高于最坏情况下的 $1/2$ 下界。
• 在 $G(n,n,p)$ 模型下，贪婪算法与排名算法的性能渐近等价，意味着贪婪算法在期望下至少能匹配最大匹配大小的 $0.837$。
• 对于顶点加权二分图匹配，论文推导出渐近匹配大小的闭式表达式：$\frac{\mu^{r}_{\mathrm{W}}(n,n,c/n)}{n} = g_r - \frac{1}{c}\log\left(\frac{1+e^{-c\tau}(e^{c\sum_{k=1}^{r}g_k}-1)}{1+e^{-c\tau}(e^{c\sum_{k=1}^{r-1}g_k}-1)}\right) + o(1)$。
• 贪婪算法的性能比在 $p(n) \sim 1/n$ 处最小，此时性能从高表现过渡到最坏情况行为，表明存在关键的相变。