[论文解读] Rank-adaptive structure-preserving reduced basis methods for Hamiltonian systems.

Jan S. Hesthaven, Cecilia Pagliantini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一种适用于参数化哈密顿系统的秩自适应、结构保持型模型降阶方法，该方法利用动态低秩逼近技术在时间上演化局部降阶空间，同时保持辛结构，并动态调整降阶基的维度以维持精度。在涉及波相互作用、非线性输运和福勒索方程的问题中，该方法相较于全局方法和传统降阶基方法展现出更优的稳定性与显著的运行时加速效果。

ABSTRACT

This work proposes an adaptive structure-preserving model order reduction method for finite-dimensional parametrized Hamiltonian systems modeling non-dissipative phenomena. To overcome the slowly decaying Kolmogorov width typical of transport problems, the full model is approximated on local reduced spaces that are adapted in time using dynamical low-rank approximation techniques. The reduced dynamics is prescribed by approximating the symplectic projection of the Hamiltonian vector field in the tangent space to the local reduced space. This ensures that the canonical symplectic structure of the Hamiltonian dynamics is preserved during the reduction. In addition, accurate approximations with low-rank reduced solutions are obtained by allowing the dimension of the reduced space to change during the time evolution. Whenever the quality of the reduced solution, assessed via an error indicator, is not satisfactory, the reduced basis is augmented in the parameter direction that is worst approximated by the current basis. Extensive numerical tests involving wave interactions, nonlinear transport problems, and the Vlasov equation demonstrate the superior stability properties and considerable runtime speedups of the proposed method as compared to global and traditional reduced basis approaches.

研究动机与目标

• 解决输运问题中柯尔莫哥洛夫宽度衰减缓慢导致传统降阶基方法效率受限的问题。
• 在模型降阶过程中保持哈密顿动力学的典型辛结构。
• 在时间演化过程中实现降阶空间维度的动态自适应，以维持解的精度。
• 开发一种结合局部降阶空间与最差近似参数方向自适应基扩充的方法。
• 在非耗散系统（如福勒索方程和非线性输运问题）的长时间模拟中，实现高精度与计算效率的平衡。

提出的方法

• 该方法利用动态低秩逼近技术，构建随时间演化的局部降阶空间。
• 通过将哈密顿向量场投影到当前降阶空间的切空间，推导出降阶动力学。
• 通过确保投影在降阶空间中尊重典型辛形式，实现辛结构的保持。
• 当误差指示器表明精度不足时，自适应地增加降阶基维度，且在最差近似参数方向进行基扩充。
• 该方法使用基于残差的误差指示器触发基扩充，确保在整个时间演化过程中维持解的质量。
• 该方法结合参数化模型降阶与低秩矩阵逼近，以在适应动态演化的同时保持解的低秩特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种结构保持型降阶基方法，以应对输运主导型哈密顿系统中柯尔莫哥洛夫宽度衰减缓慢的问题？
• RQ2 在时间演化降阶空间的模型降阶过程中，如何保持哈密顿动力学的辛结构？
• RQ3 动态秩自适应在非耗散系统长时间模拟中的精度与稳定性方面，能带来多大程度的提升？
• RQ4 在最差近似参数方向进行自适应基扩充，是否能优于固定秩或全局降阶基方法？
• RQ5 在波相互作用和福勒索方程等基准问题中，所提方法在性能提升与稳定性方面取得了哪些成果？

主要发现

• 与全局方法和传统降阶基方法相比，该方法在长时间模拟中展现出更优的稳定性，尤其在柯尔莫哥洛夫宽度衰减缓慢的问题中表现突出。
• 由于高效的局部降阶空间自适应，尤其在非线性输运和波相互作用问题中，观察到显著的运行时加速。
• 动态秩自适应机制通过仅在必要时扩充基，有效维持高精度，同时减少计算开销。
• 该方法保持了原始哈密顿系统辛结构，确保长期能量守恒与定性正确性。
• 对福勒索方程的数值测试表明，该方法在高维、非耗散场景下具有鲁棒性与高效性。
• 误差指示器能有效引导基扩充，实现以最小的参数空间采样量获得高精度解。