[论文解读] Rank Jumps and Growth of Shafarevich--Tate Groups for Elliptic Curves in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-Extensions

Lea Beneish, Debanjana Kundu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用 3

一句话总结

该论文运用 Iwasawa 理论研究了有理数域上椭圆曲线在 Z/pZ-扩张中的秩增长与 Selmer 群行为。通过 λ-不变量和 Kida 公式，作者证明了对于具有平凡 p-进主 Selmer 群的秩 0 椭圆曲线，在无穷多个循环 p 次扩张中，其秩保持不变——这是此类扩张塔中关于秩稳定性的首个无条件结果。该研究还表明，p-进主 Selmer 群在正密度的扩张中变得非平凡，对 Shafarevich–Tate 群的增长具有影响。

ABSTRACT

In this paper, we use techniques from Iwasawa theory to study questions about rank jump of elliptic curves in cyclic extensions of prime degree. We also study growth of the $p$-primary Selmer group and the Shafarevich--Tate group in cyclic degree-$p$ extensions and improve upon previously known results in this direction.

研究动机与目标

• 理解椭圆曲线的 Mordell–Weil 秩在 Q 的 Z/pZ-扩张中何时保持不变。
• 确定在多少比例的 Z/pZ-扩张中，基变更后 p-进主 Selmer 群保持平凡。
• 分析在循环 p 次扩张中 p-进主 Selmer 群与 Shafarevich–Tate 群的增长。
• 研究在何种条件下，秩不会增加或 Shafarevich–Tate 群会增长。
• 建立 Iwasawa 不变量与数域扩张塔中 Mordell–Weil 群稳定性之间的联系。

提出的方法

• 使用 Iwasawa 理论分析在分圆 Zp-扩张上 p-进主 Selmer 群的 λ-不变量。
• 应用 Kida 公式关联不同扩张间的 Selmer 群增长。
• 利用欧拉示性数公式推导秩跳跃或 Shafarevich–Tate 群增长的判别条件。
• 运用 Frobenius 密度定理与 Chebotarev 密度定理估计具有所需性质的扩张比例。
• 假设 Hyp ind 以建模按高度排序的椭圆曲线中，约化类型与秩的独立性。
• 计算在特定 Z/pZ-扩张中 Selmer 群变得非平凡的素数密度的显式下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一个固定的秩 0 椭圆曲线 E/Q 且具有平凡 p-进主 Selmer 群，有多少比例的 Q 的 Z/pZ-扩张在基变更后保持 p-进主 Selmer 群的平凡性？
• RQ2 给定一个素数 p ≠ 2,3，有多少比例的 Q 上的椭圆曲线至少存在一个 Z/pZ-扩张，使得在基变更后 p-进主 Selmer 群保持平凡？
• RQ3 在多少个 Z/pZ-扩张中，p-进主 Selmer 群变得非平凡？其密度是多少？
• RQ4 能否通过 Iwasawa 不变量区分在 Z/pZ-扩张基变更中秩增长与 Shafarevich–Tate 群增长？
• RQ5 在何种条件下，Mordell–Weil 群在 Z/pZ-扩张中保持不变，特别是对 CM 与非 CM 椭圆曲线？

主要发现

• 对于具有在 p ≥ 5 处满射残余伽罗瓦表示且 λ-与 µ-不变量平凡的非 CM 椭圆曲线 E/Q，在其分圆 Zp-扩张的所有层中，存在无穷多个 Z/pZ-扩张使得秩保持为 0。
• 在 Q(μq) 内唯一的 Z/pZ-扩张中，对于满足 q ≡ 1 (mod p) 的素数 q，p-进主 Selmer 群变得非平凡的素数集合的密度至少为 p / [(p−1)²(p+1)]。
• 对于 Q 上秩 0 椭圆曲线的正比例，存在至少一个与分圆 Zp-扩张不相交的 Z/pZ-扩张，使得在基变更后 p-进主 Selmer 群保持平凡。
• Shafarevich–Tate 群可在 Z/pZ-扩张中任意增大：对任意 n，存在一个循环 p 次扩张 L/Q，使得 rank_p X(E/L)[p] ≥ n。
• 敌素数（即 Selmer 群增长的素数）的比例下界为 p / [2(p+1)(p−1)²]，且该下界在 p < 50 时已通过数值验证。
• 在假设 Hyp ind 下，素数 q 处的约化类型与椭圆曲线的秩独立，从而可在族中实现对 Selmer 群行为的统计控制。