[论文解读] Rank one convexity of the exponentiated Hencky-logarithmic strain energy in finite elastostatics

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2014

Elasticity and Material Modeling被引用 3

一句话总结

本文提出了一类各向同性、体积-等体积解耦的应变能函数，基于指数化的 Hencky-对数应变张量，确保在二维情况下参数 $ k \to \frac{1}{4} $ 和 $ \tilde{k} \to \frac{1}{8} $ 时满足秩一凸性。在 $ n=2,3 $ 时建立了应力-应变关系的可逆性与有界畸变域内的单调性，同时证明了在三维情况下秩一凸性不成立。

ABSTRACT

We investigate a family of isotropic volumetric-isochoric decoupled strain energies $$ F\mapsto W_{_{ m eH}}(F):=\widehat{W}_{_{ m eH}}(U):=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\mu}{k}\,e^{k\,\|{ m dev}_n\log {U}\|^2}+\frac{\kappa}{2\, {\widehat{k}}}\,e^{\widehat{k}\,[{ m tr}(\log U)]^2}& ext{if}& { m det} F>0, +\infty & ext{if} &{ m det} F\leq 0, \end{array} ight.\quad $$ based on the Hencky-logarithmic (true, natural) strain tensor $\log U$, where $\mu>0$ is the infinitesimal shear modulus, $\kappa=\frac{2\mu+3\lambda}{3}>0$ is the infinitesimal bulk modulus with $\lambda$ the first Lame constant, $k,\widehat{k}$ are dimensionless parameters, $F= abla \varphi$ is the gradient of deformation, $U=\sqrt{F^T F}$ is the right stretch tensor and ${ m dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n} { m tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ is the deviatoric part of the strain tensor $\log U$. For small elastic strains, $W_{_{ m eH}}$ approximates the classical quadratic Hencky strain energy $$ F\mapsto W_{_{ m H}}(F):=\widehat{W}_{_{ m H}}(U):={\mu}\,\|{ m dev}_n\log U\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[{ m tr}(\log U)]^2, $$ which is not everywhere rank-one convex. In plane elastostatics, i.e. $n=2$, we prove the everywhere rank-one convexity of the proposed family $W_{_{ m eH}}$, for $k\geq \frac{1}{4}$ and $\widehat{k}\geq \frac{1}{8}$. Moreover, we show that the corresponding Cauchy (true)-stress-true-strain relation is invertible for $n=2,3$ and we show the monotonicity of the Cauchy (true) stress tensor as a function of the true strain tensor in a domain of bounded distortions. We also prove that the rank-one convexity of the energies belonging to the family $W_{_{ m eH}}$ is not preserved in dimension $n=3$.

研究动机与目标

• 为解决经典二次 Hencky 应变能缺乏秩一凸性的问题，而该性质在有限弹性静力学中对极小化子的存在性至关重要。
• 基于指数化 Hencky-对数应变张量，提出一种改进的应变能族，以确保在二维情况下满足秩一凸性。
• 分析柯西应力张量作为真实应变张量函数在二维与三维中的可逆性与单调性。
• 确定所提能量族的秩一凸性是否可推广至三维变形。

提出的方法

• 构建应变能函数 $ W_{\text{meH}}(F) $，通过对数应变张量 $ \log U $ 分离体积与等体积部分，其中偏量与体积分量包含指数项。
• 引入无量纲参数 $ k $ 与 $ \tilde{k} $，分别控制偏量与体积分量中指数响应的非线性程度。
• 应用非线性弹性理论中的秩一凸性理论，分析 $ W_{\text{meH}} $ 的凸性性质，特别关注右伸长张量 $ U $ 的情境。
• 利用对数应变张量及其偏量投影 $ \text{dev}_n \log U $ 的结构，将能量表达式中的体积与等体积贡献分离。
• 通过分析能量函数的黑塞矩阵，在有界畸变域内证明柯西应力张量作为真实应变张量函数的单调性。
• 采用微分几何与矩阵分析技术，评估 $ n=2 $ 与 $ n=3 $ 维空间中能量及其导数的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的指数化 Hencky-对数应变能族 $ W_{\text{meH}} $ 在二维有限弹性静力学中是否实现全局秩一凸性？
• RQ2 在 $ n=2 $ 情况下，秩一凸性成立的最小参数阈值 $ k $ 与 $ \tilde{k} $ 是多少？
• RQ3 柯西应力张量作为真实应变张量的函数，在 $ n=2 $ 与 $ n=3 $ 中是否可逆且单调？
• RQ4 $ W_{\text{meH}} $ 的秩一凸性是否在三维变形中依然成立？
• RQ5 所提能量族在小应变极限下与经典二次 Hencky 能量有何关系？

主要发现

• 当 $ k \geq \frac{1}{4} $ 且 $ \tilde{k} \geq \frac{1}{8} $ 时，所提出的应变能 $ W_{\text{meH}} $ 在平面弹性静力学（$ n=2 $）中处处满足秩一凸性。
• 柯西（真实）应力张量作为真实应变张量的函数在 $ n=2 $ 与 $ n=3 $ 中均可逆，确保了应力-应变关系的明确定义。
• 在有界畸变域内，柯西应力张量相对于真实应变张量在 $ n=2 $ 与 $ n=3 $ 中均表现出单调性。
• $ W_{\text{meH}} $ 的秩一凸性无法推广至三维变形，表明该凸性性质存在维度限制。
• 在小应变极限下，$ W_{\text{meH}} $ 收敛于经典二次 Hencky 应变能，而后者已知缺乏全局秩一凸性。
• 该能量函数仅在 $ \det F > 0 $ 时有限，当 $ \det F \leq 0 $ 时趋于无穷大，从而确保材料不可压缩性与物理一致性。