[论文解读] The exponentiated Hencky-logarithmic strain energy. Part I: Constitutive issues and rank-one convexity

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Elasticity and Material Modeling参考文献 191被引用 2

一句话总结

本文提出了一种指数型 Hencky-对数应变能函数 WeH，通过使用对数应变张量 log U 实现体积变化与等体积响应的解耦。研究证明，在平面弹性静力学（n=2）中，当 k ≥ 1/4 且 bk ≥ 1/8 时，WeH 处处具有秩一凸性，并在有界畸变域内建立了柯西应力-应变关系的可逆性与单调性，从而解决了有限弹性中的关键凸性与稳定性问题。

ABSTRACT

We investigate a family of isotropic volumetric-isochoric decoupled strain energies $$ F\mapsto W_{_{ m eH}}(F):=\widehat{W}_{_{ m eH}}(U):=\left\{\begin{array}{lll} \fracμ{k}\,e^{k\,\|{ m dev}_n\log {U}\|^2}+\fracκ{2\, {\widehat{k}}}\,e^{\widehat{k}\,[{ m tr}(\log U)]^2}& ext{if}& { m det} F>0,\\ +\infty & ext{if} &{ m det} F\leq 0, \end{array} ight.\quad $$ based on the Hencky-logarithmic (true, natural) strain tensor $\log U$, where $μ>0$ is the infinitesimal shear modulus, $κ=\frac{2μ+3λ}{3}>0$ is the infinitesimal bulk modulus with $λ$ the first Lamé constant, $k,\widehat{k}$ are dimensionless parameters, $F= abla φ$ is the gradient of deformation, $U=\sqrt{F^T F}$ is the right stretch tensor and ${ m dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n} { m tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ is the deviatoric part of the strain tensor $\log U$. For small elastic strains, $W_{_{ m eH}}$ approximates the classical quadratic Hencky strain energy $$ F\mapsto W_{_{ m H}}(F):=\widehat{W}_{_{ m H}}(U):=μ\,\|{ m dev}_n\log U\|^2+\fracκ{2}\,[{ m tr}(\log U)]^2, $$ which is not everywhere rank-one convex. In plane elastostatics, i.e. $n=2$, we prove the everywhere rank-one convexity of the proposed family $W_{_{ m eH}}$, for $k\geq \frac{1}{4}$ and $\widehat{k}\geq \frac{1}{8}$. Moreover, we show that the corresponding Cauchy (true)-stress-true-strain relation is invertible for $n=2,3$ and we show the monotonicity of the Cauchy (true) stress tensor as a function of the true strain tensor in a domain of bounded distortions. We also prove that the rank-one convexity of the energies belonging to the family $W_{_{ m eH}}$ is not preserved in dimension $n=3$.

研究动机与目标

• 解决经典二次 Hencky 能量在有限弹性中缺乏秩一凸性的问题，该问题违反了必要的椭圆性条件。
• 基于对数应变提出一种改进的应变能函数，以确保在大变形下具有更优的本构行为。
• 为超弹性材料中稳定、可逆且单调的应力-应变关系建立数学基础。
• 研究所提能量族在二维与三维设置下的凸性与单调性特性。
• 为建模具有物理一致行为（包括非线性泊松比效应）的大应变类橡胶材料提供理论依据。

提出的方法

• 提出体积-等体积解耦的应变能函数：WeH(F) = (µ/k)ek∥devn log U∥2 + (κ/(2bk))ebk[tr(log U)]2，其中 det F > 0。
• 以对数应变张量 log U 作为基本应变度量，其动机源于李群上的测地距离。
• 应用秩一凸性准则与 Legendre-Hadamard 条件，分析椭圆性与稳定性。
• 采用 Schur 凸性与矩阵分析技术，研究柯西应力张量作为 log V 函数的单调性。
• 在平面弹性静力学（n=2）中进行详细分析，并将结果推广至三维，识别凸性区域与局限性。
• 使用 TSTS-M+（真实应力-真实应变单调性）与 KSTS-I 条件评估模型的物理一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于适当的参数选择，在二维有限弹性中，指数型 Hencky 能量 WeH 是否具有秩一凸性？
• RQ2 由 WeH 导出的柯西应力张量作为对数应变的函数，是否表现出单调性与可逆性？
• RQ3 所提出的能量模型能否再现物理上合理的力学行为，例如在单轴拉伸下当 ν=0 时无横向收缩？
• RQ4 在三维情形下，该模型在秩一凸性与椭圆性方面存在哪些局限性？
• RQ5 是否存在某个参数范围，使得能量的等体积部分在大变形下仍保持凸性？

主要发现

• 当 n=2 时，若 k ≥ 1/4 且 bk ≥ 1/8，则指数型 Hencky 能量 WeH 处处具有秩一凸性。
• 柯西应力-真实应变关系在域 ∥dev3 τ∥2 ≤ (2/3)σ²y 内可逆且单调，其中 τ = log V。
• 能量 F ↦ (µ/k)ek∥log U∥2 在 GL+(n)（n=2,3）中不具有秩一凸性，表明纯对数范数项存在局限性。
• 二次 Hencky 能量 WH 不具有秩一凸性，证实了通过指数化恢复凸性的必要性。
• 当 n=3 时，等体积部分 F ↦ ek∥dev3 log U∥2 不具有秩一凸性，除非 k ≥ 3/16，且即使如此也仅在受限区域内成立。
• 识别出一个三参数子类 W♯eH，使得单轴拉伸下无横向收缩当且仅当 ν=0，与线弹性行为一致。