[论文解读] Rankin-Selberg L-functions in cyclotomic towers, III

Jeanine Van Order|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 55被引用 4

一句话总结

该论文通过谱分解和p进L函数，建立了关于CM扩张上希尔伯特模形式与反循环Hecke特征标关联的Rankin-Selberg L函数中心值的非零估计。该工作推广了Rohrlich、Vatsal及Cornut-Vatsal定理，并通过Iwasawa主猜想整除性关系，推导出GL₂型阿贝尔簇的Mordell-Weil秩的上界。

ABSTRACT

Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of $\operatorname{GL}_2$ over a totally real number field $F$. Let $K$ be a totally imaginary quadratic extension of $F$. We estimate central values of the $\operatorname{GL}_2 imes \operatorname{GL}_2$ Rankin-Selberg $L$-functions associated to $π$ times representations induced from Hecke characters of $K$ which are ramified only at a given prime ideal $\mathfrak{p}$ of $F$. More specifically, we use spectral decompositions of shifted convolution sums and relations to Fourier-Whittaker coefficients of genuine and non-genuine metaplectic forms to obtain nonvanishing estimates, averaging over primitive ring class characters of a given exact order. When $π$ corresponds to a holomorphic Hilbert modular form of arithmetic weight $k \geq 2$, we then derive finer results from the rationality theorems of Shimura, together with the existence of suitable $\mathfrak{p}$-adic $L$-functions. This allows us to generalize the theorems of Rohrlich, Vatsal, and Cornut-Vatsal to this setting. Finally, in a self-contained appendix, we explain how to use these results to deduce bounds for Mordell-Weil ranks of the associated $\operatorname{GL}_2$-type abelian varieties via existing Iwasawa main conjecture divisibilities.

研究动机与目标

• 将Rohrlich、Vatsal及Cornut-Vatsal的非零定理推广至CM域上希尔伯特模形式的情形。
• 通过Iwasawa主猜想整除性关系，推导出GL₂型阿贝尔簇的Mordell-Weil秩的上界。
• 对给定阶数的典型类特征标扭结的GL₂×GL₂ Rankin-Selberg L函数中心值，建立非零估计。
• 在多变量设置下构造并分析反循环与循环塔的p进L函数。
• 将移位卷积和的谱分解与梅塔普利克形式的傅里叶-惠塔克系数联系起来，以实现算术应用。

提出的方法

• 利用移位卷积和的谱分解，估计Rankin-Selberg L函数的中心L值。
• 通过真实与非真实梅塔普利克形式的傅里叶-惠塔克系数之间的关系，推导出非零结果。
• 通过对固定阶数的本原典型类特征标进行平均，以控制中心L值。
• 利用Shimura的有理性定理与p进L函数的存在性，对权k ≥ 2的全纯希尔伯特模形式进一步精炼结果。
• 应用Weierstrass基本定理，对多变量p进L函数进行特殊化，推导出高反循环阶数特征标下的非零性。
• 利用Iwasawa主猜想整除性关系，将L值的非零性与Selmer群与Mordell-Weil秩的余维数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与希尔伯特模形式及反循环Hecke特征标相关的GL₂×GL₂ Rankin-Selberg L函数的中心值会消失？
• RQ2 如何在多变量Iwasawa理论中构造并特殊化p进L函数，以检测中心L值的非零性？
• RQ3 L值的非零性与反循环及循环扩张上Mordell-Weil群结构之间的确切关系为何？
• RQ4 谱方法与傅里叶-惠塔克系数在梅塔普利克形式背景下，如何用于估计中心L值？
• RQ5 通过Iwasawa主猜想整除性与非零定理，可对GL₂型阿贝尔簇的Mordell-Weil秩导出何种上界？

主要发现

• 通过固定阶数的本原典型类特征标平均，结合谱分解与梅塔普利克形式系数，建立了中心L值的非零估计。
• 对权k ≥ 2的全纯希尔伯特模形式，利用Shimura有理性和p进L函数，将Rohrlich、Vatsal及Cornut-Vatsal定理推广。
• 当根数为−1时，中心L值消失，但p进L函数不恒为零，意味着在某些反循环扩张中Mordell-Weil秩为有限。
• 当δ ≥ 2时，若根数为−1，则在Iwasawa代数O[[Ω^(n)]]上，A(K_n D_∞) ⊗ Q_p/Z_p的Selmer群余维数为1；若根数为+1，则为0。
• 存在最小反循环指数α₀，使得所有对阶数≥ p^{α₀}的特征标进行的p进L函数特殊化均不为零，从而可控制非零行为。
• 通过Iwasawa主猜想整除性关系，对反循环Z_p^δ扩张上A的Mordell-Weil秩建立上界，余维数公式由L值非零性与模理论论证推导得出。